[論文レビュー] Curves of genus 2 with sqrt2 multiplication

Peter R. Bending|ArXiv.org|Nov 23, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、Jacobian が √2 による実乗法をもつ普遍的な genus 2 曲線の族を構成し、そのJacobians がRosati対合に関して不変であることを示す。本稿は、これらのJacobians 間の準同型を確立し、クaternion代数との関連を検討し、数体上のアーベル多様体の文脈において、明示的な構成と構造的結果を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we give a universal family of curves of genus 2 whose jacobians have $\sqrt2$ multiplication fixed by the Rosati involution, and several results based on it, including isogenies between jacobians of curves, and jacobians of curves with quaternionic multiplication.

研究の動機と目的

• √2 による実乗法をもつgenus 2 曲線の普遍的族を構成すること。
• これらのJacobians の自己準同型代数におけるRosati対合の作用を分析すること。
• このような曲線のJacobians 間の準同型関係を確立すること。
• √2 乗法をもつ曲線とクォータニオン乗法をもつ曲線との関連を探索すること。
• 数体上のアーベル多様体の枠組みの中で、明示的な代数的・幾何的構成を提供すること。

提案手法

• 所定の自己準同型代数をもつ関数体上の1パラメータ族のgenus 2 曲線を構成すること。
• 極化されたアーベル多様体の理論とRosati対合を用いて、自己準同型環における√2 の作用を固定すること。
• モジュライ論的技法を用いて、√2 乗法をもつ曲線をパラメトライズすること。
• Néron-Tate高さと極化型を分析して、実乗法の存在を検証すること。
• 準同型論を適用して、√2 乗法をもつ曲線のJacobians をクォータニオン乗法をもつものと関連づけること。
• 代数的数論を用いて、自己準同型環の構造とその極化との整合性を研究すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 √2 乗法をもつgenus 2 曲線のJacobians の自己準同型代数の構造は何か？
• RQ2 √2 乗法の状況において、Rosati対合は自己準同型代数にどのように作用するか？
• RQ3 √2 乗法をもつgenus 2 曲線のJacobians 間で、準同型を明示的に構成できるか？
• RQ4 Jacobians が√2 乗法をもつ場合に、同時にクォータニオン乗法をもつための条件は何か？
• RQ5 √2 乗法をもつgenus 2 曲線のモジュライ空間は何か？ そして、どのようにパラメトライズされるか？

主な発見

• 関数体上に、√2 乗法をもつgenus 2 曲線の普遍的族が明示的に構成された。
• これらの曲線のJacobians が、Z[√2] を含む自己準同型環をもつことが示された。また、Rosati対合は√2 を固定する。
• このような曲線のJacobians 間に準同型が確立され、アーベル多様体の圏におけるそれらの関係性が示された。
• このようなJacobians が同時にクォータニオン乗法をもつための条件が同定され、2つの重要なアーベル多様体のクラスを結びつけることになった。
• 極化とモジュライ構造を併せ持つ、実乗法の具体的な例が構成された。
• 結果として、特にgenus 2 曲線の文脈において、数体上の実乗法をもつアーベル多様体の分類に貢献した。