[論文レビュー] Curves on Oeljeklaus-Toma Manifolds

Sima Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、数体から構成されるコンpakトな複素非ケーラー多様体であるOeljeklaus-Toma多様体に、コンパクトな複素曲線が存在しないことを証明する。$\omega$-不変な半正定の$(1,1)$-形式とその零分岐の解析を通じて、任意のこのような曲線は$\mathbb{C}^t$に同型な葉上に存在しなければならず、その中にコンパクトな部分多様体は存在しないことから、これらの多様体上にコンパクトな複素曲線は存在しないと結論づける。

ABSTRACT

Oeljeklaus-Toma manifolds are complex non-Kähler manifolds constructed by Oeljeklaus and Toma from certain number fields, and generalizing the Inoue surfaces $S_m$. We prove that Oeljeklaus-Toma manifolds contain no compact complex curves.

研究の動機と目的

• Oeljeklaus-Toma多様体が、Inoue曲面の一般化であることに基づき、コンパクトな複素曲線を含むかどうかを特定すること。
• Inoue曲面のタイプ$S_M$について既知の結果を、より広いクラスのOeljeklaus-Toma多様体へと拡張すること。
• 多様体の複素構造に課される幾何的制約を、半正定の$(1,1)$-形式の存在から考察すること。
• 標準的な$(1,1)$-形式の零分岐を解析することで、コンパクト曲線の存在を除外すること。

提案手法

• ユニバーサル被覆$\widetilde{M} = \mathbb{H}^s \times \mathbb{C}^t$ 上に、$\widetilde{\omega} = \sqrt{-1} \partial\bar{\partial} \log \varphi$ で定義される半正定の$(1,1)$-形式$\widetilde{\omega}$ を定義する。ここで$\varphi = \prod_{i=1}^s (\operatorname{im} z_i)^{-1}$である。
• $\widetilde{\omega}$ が$U \ltimes O_K$の作用に関して$\Gamma$-不変であることを示し、商多様体$M = \widetilde{M}/\Gamma$ 上の$(1,1)$-形式$\omega$ に引き下がることを証明する。
• 形式$\omega$ の零分岐を、$\omega(u, Iu) = 0$ を満たす接ベクトル$u$の集合として特徴づけ、これは最初の$s$個の座標が一定であるような葉に対応することを示す。
• $\widetilde{M}$ 上の零分岐の各葉が$\mathbb{C}^t$に同型であり、$\Gamma$ の非自明な元$\gamma$ がそのような葉を保存できないことを証明する。これにより、商多様体上の葉も$\mathbb{C}^t$に同型であることが保証される。
• $\mathbb{C}^t$ にコンパクトな複素部分多様体が存在しないことを利用して、$M$ 内にコンパクトな複素曲線が存在できないと結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Oeljeklaus-Toma多様体には、既に知られている$S_M$型Inoue曲面に存在しないのと同様に、コンパクトな複素曲線が存在するのか？
• RQ2 標準的な半正定の$(1,1)$-形式の零分岐を用いて、これらの多様体上にコンパクトな複素曲線が存在しないことを示すことができるか？
• RQ3 ユニバーサル被覆$\widetilde{M}$ 上の零分岐の構造が、商多様体$M$ にどのように引き継がれるか？
• RQ4 $\mathbb{C}^t$ にコンパクトな部分多様体が存在しないことから、なぜ$M$ にコンパクトな複素曲線が存在できないのか？
• RQ5 群$\Gamma = U \ltimes O_K$ は、分岐構造を保存するのか、あるいは破壊するのか、その役割は何か？

主な発見

• Oeljeklaus-Toma多様体には、$S_M$型Inoue曲面の結果を一般化して、コンパクトな複素曲線が存在しない。
• 多様体$M$ 上の半正定の$(1,1)$-形式$\omega$ は、任意のコンパクトな複素曲線上で恒等的にゼロになるため、そのような曲線は零分岐の葉上に存在しなければならない。
• 形式$\omega$ の零分岐の各葉は$\mathbb{C}^t$に同型であり、その中にコンパクトな複素部分多様体は存在しない。
• 群$\Gamma = U \ltimes O_K$ は、零分岐の任意の葉を保存する非自明な元を含まないため、商の葉が良好に保たれ、$\mathbb{C}^t$に同型であることが保証される。
• Ornea-Verbitsky (2015) の手法とは異なり、この研究では葉のZariski稠密性ではなく、$\mathbb{C}^t$ にコンパクトな部分多様体が存在しないという事実に依拠している。
• この結果は、Oeljeklaus-Toma多様体が正則関数や codimension 1 の部分多様体を含まないという予想を支持している。