[論文レビュー] Cuspidal irreducible representations of quaternionic forms of p-adic classical groups for odd p

Daniel Skodlerack|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 24被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、奇数の p に対する p-進古典的群のクaternion形式のすべてのカスプ的で無限大な複素表現を分類する。古典的 p-進群における分類を拡張し、すべてのこのような表現が、ベータ拡張と有限群のカスプ的表現から構成されるカスプ的タイプからの誘導によって得られることを示し、相互に作用するタイプが群作用のもとで共役であることを示している。

ABSTRACT

Given a quaternionic form G of a p-adic classical group ($p$ odd) we classify all cuspidal irreducible complex representations of G. It is a straight forward generalization of the classification in the p-adic classical group case. We prove two theorems: At first: Every irreducible cuspidal representation of G is induced from a cuspidal type, i.e. from a certain irreducible representation of a compact open subgroup of G, constructed from a beta-extension and a cuspidal representation of a finite group. Secondly we show that two intertwining cuspidal types of G are up to equivalence conjugate under some element of G.

研究の動機と目的

• p が奇数のとき、p-進古典的群からそのクaternion形式へのカスプ的で無限大な表現の分類を拡張すること。
• クaternion形式の任意の無限大なカスプ的表現が、カスプ的タイプからの誘導によって得られることを確立すること。
• このような群に対して、相互に作用する2つのカスプ的タイプが群 G の元によって共役であることを証明すること。
• タイプの理論とベータ拡張を、古典的群のクaternion形式の文脈に一般化すること。

提案手法

• クaternion形式 G のコンパクト開部分群の無限大な表現としてカスプ的タイプを構成する。
• ベータ拡張を用いて、有限リーマン的商からの表現をコンパクト開部分群へと上げる。
• ベータ拡張と有限群のカスプ的表現を組み合わせて、完全なカスプ的タイプを形成する。
• これらのカスプ的タイプから誘導を用いて G の無限大なカスプ的表現を構成する。
• 群論的議論を用いて、相互に作用するカスプ的タイプが G 内で共役であることを示す。
• p-進古典的群およびそのクaternion形式の構造を活用し、古典的ケースでの既知の結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数の p に対して、p-進古典的群からそのクaternion形式へのカスプ的で無限大な表現の分類をどのように拡張できるか。
• RQ2 p-進古典的群のクaternion形式の文脈におけるカスプ的タイプの正確な構成は何か。
• RQ3 このような群に対して、2つの相互に作用するカスプ的タイプが群 G 内で共役となる条件は何か。
• RQ4 ベータ拡張と有限群のカスプ的表現は、どのようにしてカスプ的タイプの完全なパrametrization を形成するか。

主な発見

• 奇数の p に対して、p-進古典的群のクaternion形式 G の任意の無限大なカスプ的表現は、カスプ的タイプからの誘導によって得られる。
• カスプ的タイプは、G のコンパクト開部分群の表現として構成され、ベータ拡張と有限群のカスプ的表現の組み合わせである。
• 相互に作用する2つのカスプ的タイプは、G のある元による共役となるため、共役を除いて一意的である。
• クaternion形式のカスプ的表現の分類は、古典的 p-進群の場合に既知の分類を一般化する。
• 群の構造およびそのコンパクト開部分群の構造のおかげで、ベータ拡張と有限群の表現を用いたタイプの均一な取り扱いが可能である。
• 結果として、タイプを用いた無限大なカスプ的表現の完全なパrametrization が確立され、理論が非分裂形式へと拡張された。