[論文レビュー] Cuspidal representations in the l-adic cohomology of the Rapoport-Zink space for GSp(4)

Tetsushi Ito, Yoichi Mieda|arXiv (Cornell University)|May 31, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、GSp(4)のRapoport-Zink塔の$\ell$-進コホモロジーに、$i \neq 2,3,4$のコホモロジー次元では擬 cuspidal な部分商が存在しないことを、形式的近傍サイクルと特殊ファイバー上の$J(\mathbb{Q}_p)$--equivariant 構造を用いた完全に局所的な層論的アプローチにより証明する。この結果は、GSp(4)の局所Langlands対応に重要な制約をもたらす。

ABSTRACT

In this paper, we study the l-adic cohomology of the Rapoport-Zink tower for GSp(4). We prove that the smooth representation of GSp_4(Q_p) obtained as the i-th compactly supported l-adic cohomology of the Rapoport-Zink tower has no quasi-cuspidal subquotient unless i=2,3,4. Our proof is purely local and does not require global automorphic methods.

研究の動機と目的

• GSp(4)のRapoport-Zink塔の$\ell$-進コホモロジーのどのコホモロジー次元に擬 cuspidal 表現が含まれるかを特定すること。
• GSp_4(Q_p)の滑らか表現$H^i_{\mathrm{RZ}}$において、$i \neq 2,3,4$のとき擬 cuspidal な部分商が存在しないことを確立すること。
• 局所的自動形式的技法を避ける完全に局所的な手法を構築し、形式的モデルの特殊ファイバー上の層論的構成に依存すること。
• 形式的近傍サイクルの変種を用いて、特殊ファイバー上の局所コホモロジー複体に$J(\mathbb{Q}_p)$-作用を導入し、表現論的構造を制御可能にする。

提案手法

• GSp_4(Z/p^mZ)によるガロア作用を伴う、rigid analytic spaceとしてのGSp(4)のRapoport-Zink塔を構成し、コンパクト台付き$\ell$-進コホモロジーの帰納的極限をとる。
• 直接和成分$I \subset (\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z})^4$で添字づけられた層複体$\mathcal{F}_{m,I}$を、$(\breve{\mathscr{M}}_m)_{\mathrm{red}}$の特殊ファイバー上に定義し、ストラタに沿った局所コホモロジーの代わりに用いる。
• Rapoport-Zinkの$p$-進均質化定理を用いて、特殊ファイバーの幾何と塔のコホモロジーを関連付ける。
• [Mie10b] に見られる形式的近傍サイクルの変種を導入し、$J(\mathbb{Q}_p)$が均質化シュバリエに作用しないにもかかわらず、$\mathcal{F}_{m,I}$のコホモロジーに$J(\mathbb{Q}_p)$-作用を導入する。
• 有限生成なpro-$p$群の性質を用いて、$J(\mathbb{Q}_p)$-作用がコホモロジー上で滑らかであることを保証する。
• コホモロジー的対応と$R\Gamma_c(i_*j_*j^!R\psi)$のファンクター様性を用い、同じ一般ファイバーを持つ異なる対応が誘導する準同型を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GSp(4)のRapoport-Zink塔の$\ell$-進コホモロジーのどのコホモロジー次元$i$が、GSp_4(Q_p)-表現の擬 cuspidal な部分商を支持するか。
• RQ2 グローバルな自動形式的入力を用いずに、$H^i_{\mathrm{RZ}}$に擬 cuspidal な部分商が存在しないことを、完全に局所的手法で確立できるか。
• RQ3 グローバル作用が存在しないにもかかわらず、Rapoport-Zink空間の特殊ファイバーのコホモロジーに、$J(\mathbb{Q}_p)$-作用を効果的に実現する方法は何か。
• RQ4 Lubin-Tateの場合に使われる近傍サイクル複体の局所コホモロジーの代わりに、特殊ファイバー上でどのような層論的構成が用いられるか。
• RQ5 特殊ファイバー内のコホモロジー的対応は、コホモロジーの表現論的構造をどの程度制御できるか。

主な発見

• 主定理（定理3.2）により、$\mathrm{GSp}_4(\mathbb{Q}_p)$の滑らか表現$H^i_{\mathrm{RZ}} \otimes_{\mathbb{Q}_\ell} \overline{\mathbb{Q}}_\ell$は、$i = 2,3,4$でない限り、擬 cuspidal な部分商をもたない。
• $H^i_{\mathrm{RZ}}$は$i < 0$または$i > 6$では消える。なぜなら、すべての$m \geq 0$に対してRapoport-Zink空間$\breve{\mathscr{M}}^\mathrm{rig}_m$は3次元だからである。
• 証明は完全に局所的であり、グローバルな自動形式形式やトレース公式に依存せず、従来の手法とは明確に異なる。
• 特殊ファイバー上に構成された層複体$\mathcal{F}_{m,I}$の構成により、塔がアフィンでないにもかかわらず、ストラタに沿った局所コホモロジーの代わりに用いることができる。
• $J(\mathbb{Q}_p)$-作用は、形式的近傍サイクルの変種を用いて実現され、有限生成なpro-$p$群の性質により滑らかさが保証される。
• コホモロジー的対応は$R\Gamma_c(i_*j_*j^!R\psi)$上で準同型を誘導し、ファンクター様かつ合成と可換であるため、異なる幾何的実現を比較可能となる。