[論文レビュー] Cut-off phenomenon for Ornstein-Uhlenbeck processes driven by Lévy processes

Gerardo Barrera, Juan Carlos Pardo|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 36被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、全変動距離の下で、Lévy過程によって駆動されるd次元Ornstein-Uhlenbeck過程におけるカットオフ現象を確立する。有限対数モーメントおよびLévy過程の正則性を含む条件下で、可逆ケースではプロファイル関数の存在を証明し、非可逆ケースにおけるその存在のための条件を示す。これは、ブラウン運動の場合の結果を、複雑なジャンプ構造を持つジャンプ拡散過程へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we study the cut-off phenomenon under the total variation distance of d-dimensional Ornstein-Uhlenbeck processes which are driven by Lévy processes. That is to say, under the total variation distance, there is an abrupt convergence of the aforementioned process to its equilibrium, i.e. limiting distribution. Despite that the limiting distribution is not explicit, its distributional properties allow us to deduce that a profile function always exists in the reversible cases and it may exist in the non-reversible cases under suitable conditions on the limiting distribution. The cut-off phenomena for the average and superposition processes are also determined.

研究の動機と目的

• Lévy過程によって駆動されるd次元Ornstein-Uhlenbeck過程におけるカットオフ現象を調査すること。
• 全変動距離の下でカットオフ現象が発生するための条件を特定すること。
• 可逆ケースにおけるプロファイル関数の存在を確立し、非可逆ケースにおけるその存在の十分条件を示すこと。
• このようなOUL過程の重ね合わせおよび平均過程のカットオフ行動を分析すること。
• 既知のブラウン運動駆動SDEの結果を、ジャンプ成分を有するLévy駆動SDEへと拡張すること。

提案手法

• t > 0 に対して、X(ε)0 = x0 ∈ Rd \ {0} を満たすSDE dX(ε)t = −QX(ε)t dt + √ε dξt を分析する。ここで ξ はd次元Lévy過程である。
• Lévy過程に条件を課す：収束およびカットオフ行動を保証するための有限対数モーメントおよび正則性。
• ガウス構造の欠如に起因し、ブラウン運動のアプローチとは異なる、Lévyノイズに適応した線形化技術およびカップリング手法を用いる。
• 全変動距離を比較するための変数変換および畳み込み不等式を適用する。
• 全変動距離の明示的計算を避けて、プロファイルカットオフを証明するための「不変性型」条件を導入する。
• 重ね合わせおよび平均過程を研究し、自己分解可能分布を用いて重ね合わせ過程におけるプロファイルカットオフを証明し、安定性仮定の下で平均過程においても同様の結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lévy駆動型Ornstein-Uhlenbeck過程が全変動距離の下でカットオフ現象を示す条件は何か？
• RQ2 可逆および非可逆ケースにおけるカットオフ現象のプロファイル関数が存在する条件は何か？
• RQ3 Lévyジャンプの追加は、ブラウン運動の場合と比較してカットオフ行動にどのように影響を与えるか？
• RQ4 OUL過程の重ね合わせおよび平均過程において、プロファイルカットオフを確立できるか？
• RQ5 極限分布の対称性および自己分解可能性がプロファイルカットオフに果たす役割は何か？

主な発見

• Lévy過程が有限対数モーメントをもち、正則性条件を満たす限り、全変動距離の下でOUL過程におけるカットオフ現象が成立する。
• 可逆ケースではプロファイル関数が存在し、極限分布に「不変性型」条件が成り立つ場合には非可逆ケースでもその存在が可能性となる。
• 対称的1次元極限分布の場合は、プロファイルカットオフ条件が完全に満たされる。
• 重ね合わせ過程ではプロファイルカットオフが確立され、プロファイル関数は自己分解可能分布と関連している。
• 安定Lévyノイズの下での平均過程では、明示的なプロファイル関数、カットオフ時間、ウィンドウが得られ、プロファイルカットオフが証明された。
• 本結果は、ブラウン運動に限らないカットオフ理論をLévy駆動SDEへと拡張し、ジャンプ成分が収束ダイナミクスに与える影響を強調している。