[論文レビュー] CUT-OFF PHENOMENON FOR STOCHASTIC SMALL PERTURBATIONS OF M-DIMENSIONAL DYNAMICAL SYSTEMS

Gerardo Barrera, Milton Jara|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、小さなブラウン運動で摂動されるm次元確率的力学系におけるカットオフ現象を調査する。適切なベクトル場の条件下で、摂動されたSDEの族が全変動距離においてプロファイルカットオフを示すことを証明しており、これはノイズ分散が小さくなるにつれて平衡状態への急激な遷移を示している。

ABSTRACT

We study the cut-off phenomenon for a family of stochastic small perturba- tions of a m-dimensional dynamical system. We will focus in a semiflow of a deterministic differential equation which is perturbed by a Brownian motion of small variance. Under suitable hypothesis on the vector field we will prove that the family of perturbed sto- chastic differential equations present a profile cut-off phenomenon with respect to the total variation distance.

研究の動機と目的

• m次元力学系における小スティリスティック摂動の収束行動を分析すること。
• このような摂動が全変動距離においてカットオフ現象を示すかどうかを調査すること。
• プロファイルカットオフが出現するためのベクトル場に関する条件を確立すること。
• 消滅するノイズ分散の極限における平衡状態への鋭い遷移を特徴づけること。

提案手法

• 小分散のブラウン運動によって駆動される確率的微分方程式（SDE）としてシステムをモデル化すること。
• 基本となる力学系として、元の決定的微分方程式の半フローを分析すること。
• 大偏差理論およびフレイドリン＝ウェントセル理論を用いて、抜ける時間と収束行動を研究すること。
• カップリング技術と比較原理を用いて、摂動過程と平衡状態との間の全変動距離を推定すること。
• 収束速度の鋭い遷移を保証するベクトル場に関する条件を確立すること。
• 収束が狭い時間窓内で急激に起こることを示すことにより、プロファイルカットオフの存在を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m次元力学系の小スティリスティック摂動の族は、全変動距離においてカットオフ現象を示すか？
• RQ2 プロファイルカットオフの出現を保証するベクトル場の構造的条件は何か？
• RQ3 ノイズ分散が0に近づく際、平衡状態への収束はどのように振る舞うか？
• RQ4 平衡状態への遷移は、異なる初期条件にかかわらず鋭く、普遍的とみなせるか？
• RQ5 決定的系の半フロー構造は、カットオフの出現にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 適切なベクトル場の条件下で、摂動されたSDEの族は全変動距離においてプロファイルカットオフ現象を示す。
• カットオフは急激に発生し、ノイズ分散が小さくなるにつれて平衡状態への鋭い遷移を示している。
• 提示された仮定の下では、収束プロファイルは初期条件に依存せず普遍的である。
• カットオフ時間は、元の決定的半フローのダイナミクスによって決定される。
• ノイズが小さくなるに従い、全変動距離はほぼ1からほぼ0へと急激に低下する、消えるような時間窓内で変化する。
• 本結果は、小ノイズを伴うm次元確率的力学系の広いクラスにカットオフ現象を拡張する。