[論文レビュー] Cut Sparsification of the Clique Beyond the Ramanujan Bound.

Antares Chen, Jonathan Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2020

Graph theory and applications被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、ランダムな $d$-正則グラフがクライQUEのカットスパーシファイアであることを確立し、近似誤差が $(2\sqrt{2/\pi} + o_{n,d}(1))/\sqrt{d} \approx 1.595/\sqrt{d}$ 以下であることを示している。一方、同じ平均次数のスペクトルスパーシファイアは、少なくとも $(2 - o_{n,d}(1))/\sqrt{d}$ の誤差を必要とし、ラングマヌジャの境界を越える根本的な分離を示している。

ABSTRACT

We prove that a random $d$-regular graph, with high probability, is a cut sparsifier of the clique with approximation error at most $\left(2\sqrt{\frac 2 \pi} + o_{n,d}(1) ight)/\sqrt d$, where $2\sqrt{\frac 2 \pi} = 1.595\ldots$ and $o_{n,d}(1)$ denotes an error term that depends on $n$ and $d$ and goes to zero if we first take the limit $n ightarrow \infty$ and then the limit $d ightarrow \infty$. This is established by analyzing linear-size cuts using techniques of Jagannath and Sen \cite{jagannath2017unbalanced} derived from ideas from statistical physics and analyzing small cuts via martingale inequalities. We also prove that every spectral sparsifier of the clique having average degree $d$ and a certain high pseudo-girth property has an approximation error that is at least the $(2-o_{n,d}(1))/\sqrt d$, which is met by $d$-regular Ramanujan graphs, generalizing a lower bound of Srivastava and Trevisan \cite{ST18}. Together, these results imply a separation between spectral sparsification and cut sparsification. If $G$ is a random $\log n$-regular graph on $n$ vertices, we show that, with high probability, $G$ admits a (weighted subgraph) cut sparsifier of average degree $d$ and approximation error at most $(1.595\ldots + o_{n,d}(1))/\sqrt d$, while every (weighted subgraph) spectral sparsifier of $G$ having average degree $d$ has approximation error at least $(2-o_{n,d}(1))/\sqrt d$.

研究の動機と目的

• 完全グラフ（クライQUE）のカットスパーシファイアの近似誤差が平均次数 $d$ に対してどのように依存するかを調査すること。
• 特に高確率の枠組みにおいて、ランダムな $d$-正則グラフがクライQUEのカットスパーシファイアとしてどの程度の性能を示すかを分析すること。
• 高仮想ぐるみ長さを持つクライQUEのスペクトルスパーシファイアの近似誤差に対する下界を確立すること。
• カットスパーシファイアとスペクトルスパーシファイアの最小達成可能近似誤差を比較することで、両者の性能に根本的な分離があることを示すこと。

提案手法

• 統計物理学に由来する技術を用いて、ジャガナスとセーン（2017）の手法を応用し、ランダムな $d$-正則グラフにおける線形サイズのカットを分析する。
• マルティングール不等式を用いて、ランダムな $d$-正則グラフにおける小規模なカットの集中を制御する。
• ランダムな $d$-正則グラフのカットスパーシファイア誤差に対する上界を $\left(2\sqrt{2/\pi} + o_{n,d}(1)\right)/\sqrt{d}$ として導出する。
• 平均次数 $d$ で高仮想ぐるみ長さを持つクライQUEのスペクトルスパーシファイアに対して、下界 $(2 - o_{n,d}(1))/\sqrt{d}$ を確立する。
• カットスパーシファイアとスペクトルスパーシファイアの誤差境界を比較し、性能の分離を示す。
• 誤差項 $o_{n,d}(1)$ の漸近的挙動を正当化するために、$n \to \infty$ の極限の後に $d \to \infty$ をとる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均次数 $d$ のクライQUEのカットスパーシファイアで達成可能な最小近似誤差は何か？
• RQ2 ランダムな $d$-正則グラフは、ラングマヌジャの境界を上回るカットスパーシファイア誤差を達成できるか？
• RQ3 高仮想ぐるみ長さで平均次数 $d$ を持つクライQUEのスペクトルスパーシファイアで達成可能な最小近似誤差は何か？
• RQ4 カットスパーシファイアとスペクトルスパーシファイアの性能に、近似誤差の観点から明確な分離が存在するか？
• RQ5 $n \to \infty$ および $d \to \infty$ の下で、カットスパーシファイアとスペクトルスパーシファイアの漸近的挙動はどのように比較できるか？

主な発見

• ランダムな $d$-正則グラフは、高確率でカットスパーシファイア近似誤差が $\left(2\sqrt{2/\pi} + o_{n,d}(1)\right)/\sqrt{d} \approx (1.595 + o_{n,d}(1))/\sqrt{d}$ 以下であることを達成する。
• この上界は、スペクトルスパーシファイアにおいてタイトであると知られているラングマヌジャの境界を上回る。
• 平均次数 $d$ で高仮想ぐるみ長さを持つクライQUEのすべてのスペクトルスパーシファイアは、少なくとも $(2 - o_{n,d}(1))/\sqrt{d}$ の近似誤差を持つ必要がある。
• 本論文は、カットスパーシファイアとスペクトルルスパーシファイアの間の分離を確立した：同じ平均次数 $d$ に対して、カットスパーシファイアはスペクトルスパーシファイアよりも低い誤差を達成できる。
• ランダムな $\log n$-正則グラフに対しては、平均次数 $d$ で誤差 $\leq (1.595 + o_{n,d}(1))/\sqrt{d}$ であるカットスパーシファイアが高確率で存在する。
• スペクトルスパーシファイアの下界 $(2 - o_{n,d}(1))/\sqrt{d}$ は、スリバスタヴァとトレヴィザンの結果を、高仮想ぐるみ長さを持つグラフに一般化したものである。