[論文レビュー] Cutoff for Random Walks on Upper Triangular Matrices

Jonathan Hermon, Sam Olesker-Taylor|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2019

Graph theory and applications参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、固定された d または p にゆっくりと増加する d を持つ Z_p 上の上三角行列のランダムケイリーグラフ U_{p,d} および d 次元ヘイゼンベルク群 over Z_p における単純な無作為ウォークのカットオフを確立する。エントロピー法を用い、群の構造とエントロピー推定値を組み合わせることで、著者らはカットオフ時間が max{log_k |G|, s_0 k} であることを示し、ここで s_0 はアーベル化 G^{ab} 上でのエントロピーが (log |G^{ab}|)/k に達するまでの時間である。この時間は k と |G| のみに依存するのではなく、群の構造にも依存しており、アルドゥス–ディアコニス予想の副次的側面に反する。

ABSTRACT

Consider the random Cayley graph of a finite group $G$ with respect to $k$ generators chosen uniformly at random, with $1 \ll \log k \ll \log |G|$ (ie $1 \ll k = |G|^{o(1)}$). A conjecture of Aldous and Diaconis (1985) asserts, for $k\gg\log|G|$, that the random walk on this graph exhibits cutoff. When $\log k \lesssim \log\log|G|$ (ie $k = (\log |G|)^{\mathcal O(1)}$), the only example of a non-Abelian group for which cutoff has been established is the dihedral group. We establish cutoff (as $p o infty$) for the group of $d imes d$ unit upper triangular matrices with integer entries modulo $p$ (prime), which we denote $U_{p,d}$, for fixed $d$ or $d$ diverging sufficiently slowly. We allow $1 \ll k \lesssim \log |U_{p,d}|$ as well as $k\gg\log|U_{p,d}|$. The cutoff time is $\max\{\log_k |U_{p,d}|, \: s_0 k\}$, where $s_0$ is the time at which the entropy of the random walk on $\mathbb Z$ reaches $(\log |U_{p,d}^\mathrm{ab}|)/k$, where $U_{p,d}^\mathrm{ab} \cong \mathbb Z_p^{d-1}$ is the Abelianisation of $U_{p,d}$. When $1 \ll k \ll \log |U_{p,d}^\mathrm{ab}|$ and $d \asymp 1$, we find the limit profile. We also prove highly related results for the $d$-dimensional Heisenberg group over $\mathbb Z_p$. The Aldous--Diaconis conjecture also asserts, for $k gg\log |G|$, that the cutoff time should depend only on $k$ and $|G|$. This was verified for all Abelian groups. Our result shows that this is not the case for $U_{p,d}$: the cutoff time depends on $k$, $|U_{p,d}| = p^{d(d-1)/2}$ and $|U_{p,d}^\mathrm{ab}|=p^{d-1}$. We also show that all but $o(|U_{p,d}|)$ of the elements of $U_{p,d}$ lie at graph distance $M \pm o(M)$ from the identity, where $M$ is the minimal radius of a ball in $\mathbb Z^k$ of cardinality $|U_{p,d}^\mathrm{ab}| = p^{d-1}$. Finally, we show that the diameter is also asymptotically $M$ when $k \gtrsim \log |U_{p,d}^ extrm{ab}|$ and $d\asymp1$.

研究の動機と目的

• 非アーベル群における無作為ウォークのカットオフ現象を調査すること、特に Z_p 上の上三角行列およびヘイゼンベルク群を対象とすること。
• アルドゥス–ディアコニス予想が予測する普遍性を検証すること。この予想は、k ≫ log |G| の場合、カットオフ時間は k と |G| のみに依存すると主張する。
• U_{p,d} のような非アーベル群では、同じサイズのアーベル群と比較してカットオフ時間が著しく短くなる可能性があることを示すこと。これは群の構造に依存する。
• ノルム群および一般の距離と直径に適用可能な、エントロピーと群のアーベル化に基づく一般的手法を開発すること。

提案手法

• エントロピー法を用いて混合時間の分析を行い、群のアーベル化 G^{ab} 上での無作為ウォークのエントロピーが (log |G^{ab}|)/k に達するまでの時間を推定する。
• アーベル化 |G^{ab}| のサイズに合わせてキャリブレーションされた、Z^k 上でのウォークのエントロピーに基づく下界を適用する。
• ボールの構造をケイリーグラフで分析し、アーベル化の幾何学と関連付けることで、上界を確立する。
• 集中法の技術を用いて、典型的な距離と直径が特定の値 M のまわりに集中することを示す。ここで M は Z^k 内のサイズ |G^{ab}| のボールの最小半径として定義される。
• 群の下部中心列と可解クラスを活用することで、アーベル群の技術を非アーベルなノルム群に適応する。
• k ≳ log |G^{ab}| の場合、ケイリーグラフは高確率でエクスパンダーとなることを利用し、直径と典型的な距離を抑え込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1 ≪ k ≲ log |G| の範囲で、U_{p,d} のランダムケイリーグラフにおける無作為ウォークがカットオフを示すか？ たとえ k が大きくない場合でも。
• RQ2 非アーベル群のカットオフ時間は、k と |G| のみに依存するのではなく、群の構造にも依存するのだろうか？ これはアルドゥス–ディアコニス予想の副次的側面に反する。
• RQ3 k や d を変化させた場合、U_{p,d} のランダムケイリーグラフにおける典型的な距離と直径の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ4 カットオフ時間はアーベル化 G^{ab} 上でのウォークのエントロピーとどのように関係するか？
• RQ5 U_{p,d} に用いられたエントロピー法は、ヘイゼンベルク群を含む他のノルム群へ一般化可能か？

主な発見

• 固定された d または p にゆっくりと増加する d を持つ Z_p 上の上三角行列 U_{p,d} および d 次元ヘイゼンベルク群に対して、カットオフが確立された。
• カットオフ時間は max{log_k |G|, s_0 k} であり、ここで s_0 は Z^k 上でのエントロピーが (log |G^{ab}|)/k に達するまでの時間である。これは |G| と k のみに依存するのではなく、G^{ab} にも依存することを示している。
• 1 ≪ k ≪ log |G^{ab}| および d ≍ 1 の場合、カットオフの極限プロファイルが明示的に特定された。
• G のほとんどすべて（o(|G|) を除く）の元は、単位元からのグラフ距離 M ± o(M) に位置し、ここで M は Z^k 内のサイズ |G^{ab}| のボールの最小半径である。
• k ≳ log |G^{ab}| および d ≍ 1 の場合、ケイリーグラフの直径は高確率で M に漸近的に近づく。
• カットオフ時間は群の構造に依存しており、k と |G| のみに依存するのではなく、アルドゥス–ディアコニス予想の副次的側面を反証する。