[論文レビュー] Cuts in Cartesian Products of Graphs

Sushant Sachdeva, Madhur Tulsiani|arXiv (Cornell University)|May 17, 2011

Graph theory and applications参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ハイパーキューブ上のブール関数解析における基本的結果——特にKKLおよびFriedgutのジャンタ定理——を、任意のグラフのカルテシアン積へ一般化する。$G^{\square k}$ の文脈において、影響および分散の測度を導入し、基本グラフ $G$ のログソボレフ定数 $\alpha$ が影響の境界およびジャンタ近似の強度を制御することを証明する。スペクトル的および関数解析的技法を用いて、古典的な結果をハイパーキューブの設定を超えて拡張する。

ABSTRACT

The k-fold Cartesian product of a graph G is defined as a graph on k-tuples of vertices, where two tuples are connected if they form an edge in one of the positions and are equal in the rest. Starting with G as a single edge gives G^k as a k-dimensional hypercube. We study the distributions of edges crossed by a cut in G^k across the copies of G in different positions. This is a generalization of the notion of influences for cuts on the hypercube. We show the analogues of results of Kahn, Kalai, and Linial (KKL Theorem [KahnKL88]) and that of Friedgut (Friedgut's Junta theorem [Friedgut98]), for the setting of Cartesian products of arbitrary graphs. Our proofs extend the arguments of Rossignol [Rossignol06] and of Falik and Samorodnitsky [FalikS07], to the case of arbitrary Cartesian products. We also extend the work on studying isoperimetric constants for these graphs [HoudreT96, ChungT98] to the value of semidefinite relaxations for edge-expansion. We connect the optimal values of the relaxations for computing expansion, given by various semidefinite hierarchies, for G and G^k.

研究の動機と目的

• ハイパーキューブから任意のグラフのカルテシアン積へ、KKL定理およびFriedgutのジャンタ定理を拡張すること。
• 影響、分散、エッジ拡張性を $G^{\square k}$ の文脈で定義・分析し、ハイパーキューブの概念を一般化すること。
• 等周的定数、半定値緩和、$G^{\square k}$ における拡張性の間の関係を確立すること。
• 特に $G^{\square k}$ におけるログソボレフ定数および固有値の振る舞いを特徴づけること。

提案手法

• 座標 $j$ 沿いの影響を、$\mathbf{L}_j$ を $j$ 番目の因子に制限したラプラシアンを用いて $\langle f, \mathbf{L}_j f \rangle$ として定義する。
• 基本グラフ $G$ のログソボレフ定数 $\alpha$ を、影響の強度を定量化する主要な等周的パラメータとして用いる。
• Rossignol や Falik–Samorodnitsky の議論を任意のグラフへ拡張することで、一般化されたKKLおよびFriedgutの定理を証明する。
• グラフ $G$ のログソボレフ定数と $G^{\square k}$ のそれとの関係を分析し、$\alpha/k$ のスケーリングに従うことを示す。
• 特にSherali-AdamsおよびLasserreのような階層における、$G$ と $G^{\square k}$ におけるエッジ拡張性のための半定値緩和の関係を確立する。
• $G^{\square k}$ のスペクトル分解および固有関数の性質を用いて、影響および分散の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ログソボレフ定数をパrameterとして用いることで、KKL定理をハイパーキューブから任意のグラフのカルテシアン積へ一般化できるか？
• RQ2 Friedgutのジャンタ定理は $G^{\square k}$ へ拡張可能であり、関係する座標の数が $\mathbb{I}/\alpha$ に依存するか？
• RQ3 導出定数としてのコンductanceやログソボレフ定数は、カルテシアン積においてどのように振る舞うか？
• RQ4 $G$ と $G^{\square k}$ におけるエッジ拡張性のための半定値緩和の関係は何か？
• RQ5 $G^{\square k}$ の固有値および固有関数は、$G$ のそれらとどのように関係するか？

主な発見

• 一般化されたKKL定理は、任意の $f: V(G^{\square k}) \to \{-1,1\}$ に対して、分散 $v$ を持つとき、ある座標の影響が $\Omega(\alpha v \log k / k)$ 以上であると述べる。ここで $\alpha$ はグラフ $G$ のログソボレフ定数である。
• 一般化されたFriedgut定理は、全影響 $\mathbb{I}$ を持つ任意の関数が、$\exp(O(\mathbb{I}/\alpha \varepsilon))$ 個の座標に依存する関数により $\varepsilon$-近似可能であることを示す。
• $G^{\square k}$ のログソボレフ定数は $\alpha/k$ に等しく、関数不等式におけるスケーリング則を確立する。
• $G^{\square k}$ のコンductance $\Phi(G^{\square k})$ は $\Phi(G)/k$ 以上を満たし、積の間での拡張性の性質を結びつける。
• $G^{\square k}$ におけるエッジ拡張性のための半定値緩和は、$G$ におけるそれと関係しており、Lasserre や Sherali-Adams のような階層の最適値は構造的関係を保つ。
• $G^{\square k}$ の固有値は $G$ の固有値の和であり、固有関数はテンソル積であるため、影響および分散のスペクトル的解析が可能になる。