[論文レビュー] Cuts, Primal Heuristics, and Learning to Branch for the Time-Dependent Traveling Salesman Problem

Christoph Hansknecht, Imke Joormann+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2018

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 23被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、時間依存型巡回セールスマン問題（TDTSP）のための分枝・切り離しフレームワークを提案する。TDTSPは、移動時間に依存して変化する弧コストを伴うATSPの一般化である。本手法は1時間以内に最適性ギャップを6％まで縮小し、市販のソルバーを著しく上回る性能を発揮したが、強力な分枝ルールを学習する試みは実行時間の改善に寄与しなかった。

ABSTRACT

We consider the time-dependent traveling salesman problem (TDTSP), a generalization of the asymmetric traveling salesman problem (ATSP) to incorporate time-dependent cost functions. In our model, the costs of an arc can change arbitrarily over time (and do not only dependent on the position in the tour). The TDTSP turns out to be structurally more difficult than the TSP. We prove it is NP-hard and APX-hard even if a generalized version of the triangle inequality is satisfied. In particular, we show that even the computation of one-trees becomes intractable in the case of time-dependent costs. We derive two IP formulations of the TDTSP based on time-expansion and propose different pricing algorithms to handle the significantly in- creased problem size. We introduce multiple families of cutting planes for the TDTSP as well as different LP-based primal heuristics, a propaga- tion method and a branching rule. We conduct computational experiments to evaluate the effectiveness of our approaches on randomly generated in- stances. We are able to decrease the optimality gap remaining after one hour of computations to about six percent, compared to a gap of more than forty percent obtained by an off-the-shelf IP solver. Finally, we carry out a first attempt to learn strong branching decisions for the TDTSP. At the current state, this method does not improve the running times.

研究の動機と目的

• 到着時刻に依存して変化する時間依存的弧コストを伴うTDTSPの計算的非効率性に対処する。
• TDTSPに特化した定式化、切り離し平面、およびプライマルヒューリスティクスの開発により、既存手法の限界を克服する。
• 機械学習を用いてTDTSPにおける分枝意思決定を改善し、分枝・限定法の効率性を高めることを目的とする。
• 高度なカットとヒューリスティクスを用いてもTDTSPがNP困難であり、一般化された三角不等式のもとで近似不能であることを示す。
• lambdaMARTを用いた学習型分枝法の有効性を評価し、TDTSP固有の特徴量に基づいて、SCIPのデフォルト分枝法と比較する。

提案手法

• 時間拡張グラフを用いてTDTSPを定式化し、時間依存的コストを各時刻θにおける弧(u,v,θ)を含む階層的ネットワークに変換する。
• 整数計画法の緩和問題を強化する複数のカット平面族を開発し、STDTSP不等式の一般化を含む。
• LPに基づくプライマルヒューリスティクスと目的関数値の伝搬手法を実装し、非対称TSPとの関連を活用してプライマル上限を改善する。
• コスト対LP比、変数の境界、コンponentsのサイズなどの特徴量をlambdaMARTで学習した順位関数に基づく分枝ルールを設計する。
• 時間拡張に起因する問題サイズの指数的増加を管理するため、価格設定ルーチンでラグランジュ緩和を用いる。
• 強力分枝スコアをラベルとして用い、20～30のトレーニングインスタンスから得た5,000件以上のデータサンプルを用いて、学習型分枝ルールを訓練する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 到着時刻に依存する時間依存的コストが、一般化された三角不等式のもとでも、標準的なATSPよりもTDTSPを根本的に難易度の高い問題にしているか？
• RQ2 標準的なTSP用カットとプライマルヒューリスティクスをTDTSPにどれほど適応可能か、かつそれらが双対およびプライマル境界に顕著な改善をもたらすか？
• RQ3 機械学習手法、特にlambdaMARTを用いて、TDTSPの分枝・切り離しフレームワークにおける有効な分枝意思決定を学習可能か？
• RQ4 学習された分枝ルールは、実行時間および最適性ギャップの観点で、デフォルトの強力分枝戦略を上回るか？
• RQ5 時間依存的木のような特定の緩和法が、単純な変種では成功しているにもかかわらず、TDTSPでは有用な下界を提供できないのはなぜか？

主な発見

• TDTSPは、一般化された時間依存的三角不等式のもとでもNP困難かつAPX困難であり、1-木の計算ですら非効率的である。
• 提案された分枝・切り離しフレームワークは、1時間の計算時間で最適性ギャップを6％まで縮小したが、市販IPソルバーでは40％以上を示した。
• プライマルヒューリスティクスと目的関数値の伝搬はギャップを顕著に縮小し、ソルバー内蔵のヒューリスティクスを上回った。
• TDTSP固有の特徴量に基づいて訓練された学習型分枝法は、実行時間の改善に寄与せず、SCIPの組み込み分枝法よりも劣った性能を示した。
• 時間拡張定式化とラグランジュ緩和に基づく価格設定の組み合わせにより、問題サイズの著しい増加に対処可能となった。
• 学習型分枝の失敗は、より良い特徴量工学、強化学習、または直接的な解法学習が必要である可能性を示唆している。