[論文レビュー] CW type of inverse limits and function spaces

Jaka Smrekar|ArXiv.org|Aug 21, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 57被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、関数空間 $Y^X$ の CW ホモトピー型および CW 型の空間間のファイブレーションの逆極限の CW ホモトピー型を調査する。逆ファイブレーション系の分析と、均一 Mittag-Leffler 性質や Zabrodsky の補題といったホモトピー的道具を用いることで、逆極限 $Z_∞$ が CW 型をもつならば、そのループ空間 $ΩZ_i$ の部分列がホモトピー同値写像と零ホモトープ写像の積に分解されることを示している。主な結果として、$Y$ が次数 $N$ 以上で自明なホモトピー群をもつとき、関数空間 $Y^{\bigcup L_i}$ が CW 型をもつのは、その系における $π_k$ 上の誘導写像が Mittag-Leffler 型の条件を満たすときである。

ABSTRACT

Given CW complexes X and Y, let map(X,Y) denote the space of continuous functions from X to Y with the compact open topology. The space map(X,Y) need not have the homotopy type of a CW complex. Here the results of an extensive investigation of various necessary and various sufficient conditions for map(X,Y) to have the homotopy type of a CW complex are exhibited. The results extend all previously known results on this topic. Moreover, appropriate converses are given for the previously known sufficient conditions. It is shown that this difficult question is related to well known problems in algebraic topology. For example, the geometric Moore conjecture (asserting that a simply connected finite complex admits an eventual geometric exponent at any prime if and only if it is elliptic) can be restated in terms of CW homotopy type of certain function spaces. Spaces of maps between CW complexes are a particular case of inverse limits of systems whose bonds are Hurewicz fibrations between spaces of CW homotopy type. Related problems concerning CW homotopy type of the limit space of such a system are also studied. In particular, an almost complete solution to a well known problem concerning towers of fibrations is presented.

研究の動機と目的

• 関数空間 $Y^X$ が CW 複体とホモトピー同値であるための必要十分条件を特定し、Milnor や Kahn の基礎的な結果を拡張すること。
• CW 型の空間間のファイブレーションの逆極限のホモトピー型を分析し、特に極限空間が CW ホモトピー型をもつときの条件に注目すること。
• ホモトピー群 $\pi_k(Y)$ 及びその制限写像による振る舞いが、$Y^X$ の CW 型を決定する役割を調査すること。
• $Y$ における幾何学的 H-空間指数の存在と $Y^X$ の CW 型との関係を明確にすること、特に $P$-局域化の文脈において。
• CW 型の関数空間が強い幻の現象（phantom phenomena）を含まず、弱収縮的だが非収縮的である関数空間などの明示的例を構成すること。

提案手法

• 関数空間 $Y^X$ を、$X$ の有限部分複体 $L_i \subset X$ における制限写像 $Y^{L_j} \to Y^{L_i}$ によって形成されるファイブレーションの塔として見る。
• CW 型の空間間のファイブレーションの逆系の収束を分析するために、均一 Mittag-Leffler 性質を適用する。
• Zabrodsky の補題と局域化理論を用い、$Y^X$ の CW 型が $Y$ のホモトピー群および $X$ のホモロジーにどのように関係するかを明らかにする。
• ファイブレーション的還元とホモトピー同値の議論により、問題を非退化基点をもつ連結で点付き CW 複体に還元する。
• 可算部分複体 $L \subset X$ に対して、$\Omega(Y^X, g) \to \Omega(Y^L, g|_L)$ がホモトピー同値であるという結果を適用し、$g$ のパス成分が CW 型をもつときを仮定する。
• $Y = K(G,n)$ の場合、$Y^X$ が CW 型をもつのは、$X$ に対してあるホモロジー的条件が満たされるときである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CW 型の空間間のファイブレーションの塔の逆極限が、CW 複体とホモトピー同値であるための条件は何か？
• RQ2 特に $Y$ が次数 $N$ 以上で自明なホモトピー群をもつとき、関数空間 $Y^X$ が CW ホモトピー型をもつのはいつか？
• RQ3 写像 $\pi_k(Z_j) \to \pi_k(Z_i)$ は、逆極限 $Z_\infty$ の CW 型とどのように関係しているか？
• RQ4 $Y^X$ の CW 型と $Y$ における幾何学的 H-空間指数の存在との関係は何か？
• RQ5 CW 型の関数空間では強い幻の現象を回避できるか？ その例は何か？

主な発見

• CW 型の空間間のファイブレーションの塔の逆極限 $Z_\infty$ が CW 型をもつならば、$\{\Omega Z_i\}$ の部分列がホモトピー同値写像と零ホモトープ写像の積に分解される。
• $Y$ が $\pi_k(Y) = 0$ for $k > N$ のとき、関数空間 $Y^{\bigcup L_i}$ が CW 型をもつのは、その系における $\pi_k(Y) \to \pi_k(Y)$ の誘導写像が均一 Mittag-Leffler 条件を満たすときである。
• $X$ が 1-連結で $\bigoplus_n \pi_n(Y)$ が有限生成であり、かつホモトピー群が Mittag-Leffler 型の条件を満たすならば、$Y^X$ は CW ホモトピー型をもつ。
• $Y = K(G,n)$ の場合、$Y^X$ が CW 型をもつのは、$X$ が特定のホモロジー的有限性条件（特に $X$ のホモロジーに関連するもの）を満たすときである。
• 弱収縮的だが非収縮的である点付き関数空間が存在し、これは CW 型関数空間に強い幻の現象が存在しないことを示している。
• $X$ が有限複体の $P$-局域化であり、$Y$ が $P$-局域化のとき、$X \to X_{(P)}$ の局域化写像は、$Y^X$ が CW 型をもつかどうかに関係なく、$Y^{X_{(P)}} \to Y^X$ に真のホモトピー同値を誘導する。