[論文レビュー] Cycle class maps and birational invariants

Brendan Hassett, Yuri Tschinkel|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、中間ヤコビ多様体上の主同次空間へのサイクル類写像を用いて、幾何的有理的3次元代数多様体の新しい双有理不変量を導入する。また、$\mathbb{P}^5$ 内の2つの2次曲面の完全交差が体 $k$ 上で有理的であることの必要十分条件を示し、$k$ 上に直線が存在することである。この条件は、曲線の幾何とそのピカール群の性質を用いて、鋭い基準を与える。

ABSTRACT

We introduce new obstructions to rationality for geometrically rational threefolds arising from the geometry of curves and their cycle maps.

研究の動機と目的

• サイクル類写像と曲線の幾何を用いて、幾何的有理的3次元代数多様体に対する有理的性の新たな障害を構築すること。
• 中間ヤコビ多様体上の主同次空間を研究することにより、閉体でない体に対してもクレメンス＝グリフィスの方法を拡張すること。
• $\mathbb{P}^5$ 内の2つの2次曲面の完全交差の有理的性を、基底体上に有理的直線が存在するか否かによって特徴付けること。
• トーレリの定理と $\ell$-進アーベル・ジャコビ写像を用いて、3次元代数多様体の有理的性を曲線のピカール群の構造に関連付けること。

提案手法

• 曲線上の0次元サイクルから中間ヤコビ多様体 $J^2(X)$ 上の主同次空間へのサイクル類写像を定義する。
• 非閉体上でのサイクル類写像の幾何的実現として $\ell$-進アーベル・ジャコビ写像を用いる。
• 特に $\operatorname{Pic}^e(C)$ である、$J^1(C)$ 上の主同次空間としての曲線のピカール群の系列の文脈で、サイクル類写像の像を研究する。
• トーレリの定理を用いて、 genus $\geq 2$ のとき曲線 $C$ がそのヤコビ多様体 $J^1(C)$ によって一意に決定されることを保証する。
• 直線の集合 $F_1(X)$ が $J^1(C)$ 上の主同次空間としての性質を解析し、$2[F_1(X)] = [\operatorname{Pic}^1(C)]$ という重要な関係を確立する。
• 主同次空間 $F_1(X)$ が自明であることと、$k$ 上に有理的直線が存在することの同値性を用いて、有理的性と主同次空間上の有理点の存在を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク1のネロン＝セベリ群と分解する中間ヤコビ多様体をもつ幾何的有理的3次元代数多様体が、なぜ有理的でない場合があるのか。
• RQ2 非閉体上での有理的性の障害として、$J^2(X)$ 上の主同次空間へのサイクル類写像がどのように機能するか。
• RQ3 多様体 $X$ 上の曲線の幾何にどのような条件が、サイクル類写像が非自明な主同次空間に値をとることを強いるか。
• RQ4 2つの2次曲面の完全交差が $\mathbb{P}^5$ 内にあるとき、その有理的性が基底体上に有理的直線が存在することに完全に特徴付けられるか。
• RQ5 多様体 $X$ 上の曲線のピカール群は、中間ヤコビ多様体の構造と有理的性の間にどのように関係するか。

主な発見

• 体 $k \subset \mathbb{C}$ 上の $\mathbb{P}^5$ 内の2つの2次曲面の完全交差が有理的であることの必要十分条件は、$k$ 上に直線が存在することである。
• 直線の集合 $F_1(X)$ は、2つの2次曲面の線型系に付随する genus 2 曲線 $C$ について、$J^1(C)$ 上の主同次空間である。
• 関係式 $2[F_1(X)] = [\operatorname{Pic}^1(C)]$ が成り立ち、有理的性は $F_1(X)$ が主同次空間として自明であること、したがって $F_1(X)(k) \neq \emptyset$ であることと同値である。
• トーレリの定理により、$g \geq 2$ のとき曲線 $C$ は $J^1(C)$ によって一意に決定されるため、この不変量は適切に定義されている。
• 次数 $d$ の曲線からのサイクル類写像は $J^2(X)$ 上の主同次空間に値をとり、有理的性は $J^2(X) \simeq J^1(C)$ のとき、この主同次空間が自明であることと同値である。
• 不変量 $\tau$ は $\operatorname{Pic}^e(C)$ の構造を通じて有理的性を検出でき、その自明性は有理的直線の存在と同値である。