[論文レビュー] Cycle lengths and minimum degree of graphs

Chun‐Hung Liu, Jie Ma|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、最小次数が高いグラフにおけるサイクル長のタイトな境界を確立し、最小次数が $k+1$ 以上のグラフが、連続する偶数長のサイクル $k$ 個、または差が2の等差数列をなす長さのサイクルを含むことを証明する。2-連結で非二部グラフの場合、$k$ が偶数のときThomassenのサイクル長の modulo $k$ に関する予想を確認し、$k$ が奇数のときは $k+4$ が十分であることを示し、従来の結果を著しく改善するとともに、サイクル列の構造に基づく新たな彩色数の上限を導出する。

ABSTRACT

There has been extensive research on cycle lengths in graphs with large minimum degree. In this paper, we obtain several new and tight results in this area. Let $G$ be a graph with minimum degree at least $k+1$. We prove that if $G$ is bipartite, then there are $k$ cycles in $G$ whose lengths form an arithmetic progression with common difference two. For general graph $G$, we show that $G$ contains $\lfloor k/2 floor$ cycles with consecutive even lengths and $k-3$ cycles whose lengths form an arithmetic progression with common difference one or two. In addition, if $G$ is 2-connected and non-bipartite, then $G$ contains $\lfloor k/2 floor$ cycles with consecutive odd lengths. Thomassen (1983) made two conjectures on cycle lengths modulo a fixed integer $k$: (1) every graph with minimum degree at least $k+1$ contains cycles of all even lengths modulo $k$; (2) every 2-connected non-bipartite graph with minimum degree at least $k+1$ contains cycles of all lengths modulo $k$. These two conjectures, if true, are best possible. Our results confirm both conjectures when $k$ is even. And when $k$ is odd, we show that minimum degree at least $k+4$ suffices. This improves all previous results in this direction. Moreover, our results derive new upper bounds of the chromatic number in terms of the longest sequence of cycles with consecutive (even or odd) lengths.

研究の動機と目的

• 最小次数が大きいグラフにおけるサイクル長の modulo $k$ に関するThomassenの長年の予想を解決すること。
• 連続または等差数列の長さを持つ $k$ 個のサイクルを保証する最適な最小次数の閾値を特定すること。
• 連続する偶数または奇数長のサイクルの最長列に基づいて、彩色数の新たな上界を導出すること。
• サイクル長の分布における既知の結果と最良の境界との差を埋めること。
• 特に二部グラフおよび非二部グラフにおいて、サイクル列の存在に必要な最小次数条件のタイトさを調査すること。

提案手法

• 2-連結な二部グラフにおいて、高最小次数を持つ2頂点間で、長さ条件を満たす $k$ 個のパスが存在することを示す基盤的結果の証明。
• 構造的グラフ理論とブロック分解を用いて、2-連結でないグラフを2-連結成分、特に端ブロックに還元すること。
• 帰納法とサイクル構築技術を用いて、連続または等差数列の長さを持つサイクル列を構築すること。
• 高平均次数および閉路長を考慮した既知のサイクル列の結果を活用し、サイクル長の分布を制限すること。
• 臨界グラフ理論と非分離な奇数長の閉路を用いて、サイクル列長から彩色数の上限を導出すること。
• extremal な例（$K_{k+2}$ および $K_{k+1,n}$）を分析して、最小次数の境界のタイトさを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小次数が $k+1$ である任意のグラフが、連続する長さまたは差が2の等差数列をなす長さの $k$ 個のサイクルを含むか？
• RQ2 Thomassenのサイクル長の modulo $k$ に関する予想はすべての $k$ に対して確認可能か？また、そのために必要な最小次数は何か？
• RQ3 連続する偶数または奇数長のサイクル $k$ 個を保証する最良の最小次数条件は何か？
• RQ4 連続する偶数または奇数長のサイクルの最長列は、グラフの彩色数とどのように関係するか？
• RQ5 最小次数の境界 $k+4$ は、連続する長さまたは長さ条件を満たす $k$ 個のサイクルを保証するために最適か？

主な発見

• 任意の2-連結な二部グラフで最小次数が $k+1$ である場合、任意の2頂点間には、長さ条件を満たす $k$ 個のパスが存在し、これは $K_{k,n}$ に対してタイトである。
• 最小次数が $k+1$ 以上の任意のグラフは、$\lfloor k/2\rfloor$ 個の連続する偶数長のサイクルと、差が1または2の等差数列をなす $k-3$ 個のサイクルを含む。
• もし $G$ が2-連結で非二部で $\delta(G) \geq k+1$ ならば、$G$ は $\lfloor k/2\rfloor$ 個の連続する奇数長のサイクルを含む。
• Thomassenのサイクル長の modulo $k$ に関する予想は、$k$ が偶数のとき確認され、$k$ が奇数のときは $\delta(G) \geq k+4$ が十分である。
• extremal な例 $K_{k+2}$ および $K_{k+1,n}$ によって、境界 $\delta(G) \geq k+4$ が定数項までタイトであることが示された。
• 新たな彩色数の上界が導出された：$\chi(G) \leq c(G) + 4$、ここで $c(G)$ は連続する偶数または奇数長のサイクルの最長列の長さである。