[論文レビュー] Cycle lengths in finite groups and the size of the solvable radical

Alexander Bors|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2015

Finite Group Theory Research参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限群における自己同型または周期的アフィン写像に長い巡回が存在することに基づき、可解核の大きさに関する鋭い上限を確立する。有限群 $G$ に長さが $ρ|G|$ 以上の巡回を持つ自己同型が存在するならば、$[G: \operatorname{Rad}(G)]$ は $ρ$ の関数として有界であり、$ρ > \frac{1}{10}$ のとき可解性が保証される。同様に、自己同型に関しては巡回長さが $|G|^e$ のオーダーであるとき $e > \frac{1}{3}$、アフィン写像に関しては $e > \frac{2}{3}$ のとき可解性が保証される。

ABSTRACT

We prove the following: For any $ρ\in\left(0,1 ight)$, if a finite group $G$ has an automorphism with a cycle of length at least $ρ\cdot|G|$, then the index of the solvable radical $\operatorname{Rad}(G)$ in $G$ is bounded from above in terms of $ρ$, and such a condition is strong enough to imply solvability of $G$ if and only if $ρ>\frac{1}{10}$. Furthermore, considering, for exponents $e\in\left(0,1 ight)$, the condition that a finite group $G$ have an automorphism with a cycle of length at least $|G|^e$, such a condition is strong enough to imply $|\operatorname{Rad}(G)| o\infty$ for $|G| o\infty$ if and only if $e>\frac{1}{3}$. We also prove similar results for a larger class of bijective self-transformations of finite groups, so-called periodic affine maps.

研究の動機と目的

• 自己同型または周期的アフィン写像に長い巡回が存在することによって、有限群の構造がどのように制限されるかを特定すること。
• 有限群における巡回長さと可解核 $\operatorname{Rad}(G)$ の大きさとの間の関係を定量化すること。
• 長大な巡回の存在が $G$ の可解性を示す鋭い閾値 $\rho$ および $e$ を特定すること。
• 構造的制約を保ちながら、自己同型の結果をより広いクラスの写像（周期的アフィン写像）へと拡張すること。
• 有限単純群の分類（CFSG）を用いて、巡回長さの条件の下で $[G: \operatorname{Rad}(G)]$ に対する明示的な上限を提供すること。

提案手法

• 有限非アーベル特性的単純群上での自己同型および周期的アフィン写像の最大巡回長を分析するために、有限単純群の分類（CFSG）を活用する。
• 有限単純群の Lie 型に属する群の自己同型群における要素の最大位数を制限するための技術的補題を用いる。
• 特に古典的および例外的 Lie 型群に対して、群の位数と巡回長の関係を扱う漸近的推定および不等式を適用する。
• 既知の要素位数および外部自己同型群のサイズに関する境界を用いて、群の型（例：$\operatorname{PSL}_d(q)$, $\operatorname{PSU}_d(q)$, 正交群、シミレティック群、例外的群）ごとの場合分けを実行する。
• 漸近的境界における誤差項を制御するための補助関数 $g(n)$ および定数 $K(\epsilon,\xi)$, $K_{\mathrm{aff}}(\epsilon,\xi)$ を導入する。
• 主要な結果を、有限非アーベル特性的単純群における最大巡回長に関する一連の技術的補題（補題 3.1）に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $\rho \in (0,1)$ の値に対して、長さが少なくとも $\rho|G|$ の巡回を持つ自己同型の存在が、$G$ の可解性を示すか？
• RQ2 周期的アフィン写像に長い巡回が存在する場合、$[G: \operatorname{Rad}(G)]$ にどのような影響を与えるか？
• RQ3 自己同型において巡回長さが $|G|^e$ 以上であるとき、$|\operatorname{Rad}(G)| \to \infty$ が $|G| \to \infty$ のとき成り立つような閾値指数 $e$ は何か？
• RQ4 巡回長さが $|G|^e$ の形である条件の下で、$[G: \operatorname{Rad}(G)]$ の上限を一様に制御できるか？
• RQ5 自己同型または周期的アフィン写像に巡回長さがそれぞれ $|G|^{1/3}$ よりも大きい群を無限に含む非可解群の族は存在するか？

主な発見

• 有限群 $G$ に長さが $\frac{1}{10}|G|$ より長い巡回を持つ自己同型が存在するならば、$G$ は可解である。この閾値は鋭く、$\mathcal{A}_5$ は長さがちょうど $\frac{1}{10}|\mathcal{A}_5|$ の自己同型巡回を持つ。
• 周期的アフィン写像に関しては、巡回長さが $\frac{1}{4}|G|$ を超えると可解性が保証され、この境界も鋭く、$\mathcal{A}_5$ は長さ $\frac{1}{4}|\mathcal{A}_5|$ の巡回を持つ。
• 自己同型に関して、巡回長さが $|G|^{1/3 + \epsilon}$ 以上であるならば、任意の $\xi > 0$ に対して $|\operatorname{Rad}(G)|$ は $|G|^{1 - \frac{3}{2}\epsilon + \xi}$ よりも速く増大し、$|G| \to \infty$ のとき $|\operatorname{Rad}(G)| \to \infty$ となる。
• 周期的アフィン写像に関して、巡回長さが $|G|^{2/3 + \epsilon}$ 以上であるならば、任意の $\xi > 0$ に対して $|\operatorname{Rad}(G)|$ は $|G|^{1 - 3\epsilon + \xi}$ よりも速く増大し、$|G| \to \infty$ のとき $|\operatorname{Rad}(G)| \to \infty$ となる。
• 可解核が自明（$|\operatorname{Rad}(G_n)| = 1$）である無限系列の有限群 $G_n$ が存在し、各 $G_n$ は長さが $|G_n|^{1/3}$ より長い自己同型巡回と、長さが $|G_n|^{2/3}$ より長い周期的アフィン写像巡回を持つ。これにより、閾値がタイトであることが示される。
• 自己同型に関しては $[G: \operatorname{Rad}(G)]$ が $\rho^{E_1}$ で上界をもつ（$E_1 \approx -1.778$）、アフィン写像に関しては $\rho^{E_2}$ で上界をもつ（$E_2 \approx -5.907$）ことから、このような群は「可解に近い」と言える。