[論文レビュー] Cycle map on Hilbert schemes of nodal curves

Ziv Ran|ArXiv.org|Oct 2, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ノード曲線族上のm点の相対ヒルベルトスキームから相対対称積へのサイクル写像が、重複点を持つサイクルの集合である特異点集合のブローアップに同型であることを確立する。この結果は、写像の局所的解析を通じて証明され、そのファイバーが有理曲線の鎖からなる小解消としての性質を持つことが示される。これは双有理幾何および交線論におけるヒルベルトスキームを研究するための基礎的幾何的構造を提供する。

ABSTRACT

We study the structure of the relative Hilbert scheme for a family of nodal (or smooth) curves via its natural cycle map to the relative symmetric product. We show that the cycle map is the blowing up of the discriminant locus, which consists of cycles with multiple points. We discuss some applications and connections, notably with birational geometry and intersection theory on Hilbert schemes of smooth surfaces. Revised version corrects some minor errors.

研究の動機と目的

• ノード曲線族の相対ヒルベルトスキーム $X^{[m]}_B$ の幾何的構造を、相対対称積へのサイクル写像を通じて理解すること。
• サイクル写像 $\mathfrak{c}_m$ が、重複点を持つサイクルをパラメトライズする特異点集合 $D^m$ をブローアップすることを示すこと。
• この結果を用いて、$X^{[m]}_B$ 上のタウトロジカルバンドルの標準的バンドル、オイラー標跡、およびチャーン類を研究すること。
• ヒルベルトスキームの幾何と古典的数え上げ幾何および双有理幾何を、特にフリップとフロップの観点から結びつけること。
• サイクル写像のブローアップ構造を用いて、レーンのタウトロジカルバンドルのチャーン類の公式を再導出すること。

提案手法

• 主な手法は、相対対称積 $X^{(m)}_B$ 上でのサイクル写像 $\mathfrak{c}_m$ の局所的解析であり、そのファイバーと特異点を分析する。
• 証明では、$\mathfrak{c}_m$ が特異点集合 $D^m$ を除いて同型であり、イデアル理論的およびProj構成を用いて $D^m$ のブローアップであることを示す。
• フィラーヒルベルトスキーム $W^m(X/B)$ を、フィルトレートされた部分スキームをパラメトライズする空間として用い、各商の台への射影 $p_i$ を導入する。
• 鍵となる恒等式 $c(w^*\lambda_m(L)) = \prod_{j=1}^m (1 + L_j - \sum_{i=1}^{j-1} \Delta_{ij})$ を用いる。ここで $\Delta_{ij}$ は $i$ 番目と $j$ 番目の点が一致する集合である。
• チャーン類の公式の導出は、この積を単項式に展開し、連結成分ごとにグループ化し、$w_*$ を用いて押し出しが行われる。
• この手法では中島の生成作用素を活用し、サイクル写像がコホノロジー上の標準的演算、特に $X^{[m]}_B$ 上の $\star$ 積と整合することを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイクル写像 $\mathfrak{c}_m: X^{[m]}_B \to X^{(m)}_B$ は特異点集合 $D^m$ のブローアップか？
• RQ2 $\mathfrak{c}_m$ のファイバー、特に重複点を持つサイクル上の構造は何か？
• RQ3 サイクル写像は双有理幾何、特にフリップとフロップの文脈においてどのように関係するか？
• RQ4 サイクル写像のブローアップ構造から、レーンのタウトロジカルバンドルのチャーン類の公式を再導出できるか？
• RQ5 相対ヒルベルトスキーム $X^{[m]}_B$ の標準的バンドルとオイラー標跡は何か？

主な発見

• サイクル写像 $\mathfrak{c}_m$ は、重複点を持つサイクルをパラメトライズする特異点集合 $D^m \subset X^{(m)}_B$ のブローアップである。
• $\mathfrak{c}_m$ の非点ファイバーは、高々 $m-1$ 個の成分からなる有理曲線の鎖であり、これは小解消としての性質を確認する。
• $m=2$ の場合、写像 $\mathfrak{c}_2$ はフランチャのフリップであり、3次元の通常の二重点に対応するフロップの自然な2:1被覆を持つ。
• $X^{[m]}_B$ の標準的バンドルが計算され、これはフリッピング写像と類似した振る舞いを示し、幾何と双有理幾何を結びつける。
• ブローアップ構造とサイクル写像を基に、$X^{[m]}_B$ のオイラー標跡に関する新しい公式が導出された。
• フィラーヒルベルトスキーム上のタウトロジカルクラスの公式を展開し、$w_*$ を用いて押し出すことで、$\lambda_m(L)$ のチャーン類のレーンの公式の新しい導出が得られた。