[論文レビュー] Cycles and p-competition graphs

Suh-Ryung KIMBoram Park, Park, Boram+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$C_n$ とその補グラフ $\overline{C_n}$ が $p$-競争グラフであるための条件を、$n$ を用いて $p$ の正確な値を特定することによって特徴づけている。$C_n$ が $p$-競争グラフであるための必要十分条件は $n \geq p+3$ であり、$n$ と $p$ に応じた $\overline{C_n}$ が $p$-競争グラフであるための十分条件を提示している。これは、競争グラフと辺クリーク被覆に関する先行研究を一般化するものである。

ABSTRACT

The notion of p-competition graphs of digraphs was introduced by S-R. Kim, T. A. McKee, F. R. McMorris, and F. S. Roberts [p-competition graphs, Linear Algebra Appl., 217 (1995) 167--178] as a generalization of the competition graphs of digraphs. Let p be a positive integer. The p-competition graph C_p(D) of a digraph D=(V,A) is a (simple undirected) graph which has the same vertex set V and has an edge between distinct vertices x and y if and only if there exist p distinct vertices v_1, ..., v_p in V such that (x,v_i), (y,v_i) are arcs of the digraph D for each i=1, ..., p. In this paper, given a cycle of length n, we compute exact values of p in terms of n such that it is a p-competition graph, which generalizes the results obtained by Kim et al. We also find values of p in terms of n so that its complement is a p-competition graph.

研究の動機と目的

• サイクル $C_n$ が $p$-競争グラフである条件を同定することで、$p$-競争グラフ理論を拡張すること。
• サイクルの補グラフ $\overline{C_n}$ が $p$-競争グラフであるための十分条件を特定すること。
• Kim らによるサイクルの $2$-競争グラフに関する先行結果を、任意の $p$ に一般化すること。
• $p$-競争グラフを特徴づけるための主要な道具としての $p$-辺クリーク被覆数 $\theta_e^p(G)$ を分析すること。

提案手法

• 定理 1.1 を用いて、サイズが $n$ 以下の $p$-辺クリーク被覆の存在を根拠に、$p$-競争グラフを特徴づける。
• 背理法を適用して、$p \geq n-2$ の場合に $C_n$ が $p$-競争グラフでないことを示し、下界 $n \geq p+3$ を確立する。
• 頂点インデックスの偶奇性と合同算術に基づく構造的クリーク族を用いて、$\overline{C_n}$ の明示的 $p$-辺クリーク被覆を構成する。
• 端点の偶奇性と距離に基づいてエッジを分類し、被覆内の特定のクリークに割り当てる方法で、$\overline{C_n}$ の辺被覆を分析する。
• 定理 1.2 を用いて、辺クリーク被覆数 $\theta_e(\overline{C_n})$ から $\overline{C_n}$ が $p$-競争グラフであるための十分条件を導出する。
• 奇数と偶数の $n$ についてのケース解析を用いて、最小の辺クリーク被覆を構成し、$\theta_e(\overline{C_n})$ の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $p$ と $n$ の組み合わせに対してサイクル $C_n$ が $p$-競争グラフであるか？
• RQ2 $C_n$ が $p$-競争グラフでなくなる最小の $p$ は何か？
• RQ3 どの $p$ と $n$ の組み合わせに対して補グラフ $\overline{C_n}$ が $p$-競争グラフであるか？
• RQ4 $\theta_e(\overline{C_n})$ の辺クリーク被覆数は、$\overline{C_n}$ が $p$-競争グラフである性質とどのように関係するか？
• RQ5 $p$-辺クリーク被覆数 $\theta_e^p(G)$ を用いて、サイクルの $p$-競争グラフを完全に特徴づけられるか？

主な発見

• サイクル $C_n$ は、$n \geq p + 3$ である場合に限り $p$-競争グラフである。
• 奇数の $n \geq 9$ に対して、$\overline{C_n}$ は $p \leq \frac{n-3}{2}$ のとき $p$-競争グラフである。
• 偶数の $n \geq 10$ に対して、$\overline{C_n}$ は $p \leq \frac{n}{2}$ のとき $p$-競競グラフである。
• $\overline{C_8}$ の辺クリーク被覆数は $\theta_e(\overline{C_8}) = 6$ であり、$p \leq 5$ のとき $p$-競争グラフである。
• $\overline{C_6}$ は $p \leq 4$ のとき $p$-競争グラフであり、$\overline{C_7}$ は $p \leq 1$ のとき $p$-競争グラフである。
• 奇数および偶数の $n$ に対して、$\overline{C_n}$ の $p$-辺クリーク被覆の明示的構成が提供されており、導出された上限の十分性が証明されている。