[論文レビュー] Cycles are determined by their domination polynomials

Saieed Akbari, Mohammad Reza Oboudi|ArXiv.org|Aug 23, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、サイクルがその支配多項式によって一意に決定されることを証明しており、同型でない他のグラフが同じ支配多項式を共有することはない。再帰的公式、p進付値解析、および特定点における微分の評価を用いて、支配多項式が $C_n$ と同一であるようなグラフが、必ず $C_n$ と同型であることを示した。これにより、すべての $n \geq 1$ に対して $C_n$ が ${\cal D}$-一意的であることが確立された。これは、支配多項式理論における未解決問題を解決するものである。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple graph of order $n$. A dominating set of $G$ is a set $S$ of vertices of $G$ so that every vertex of $G$ is either in $S$ or adjacent to a vertex in $S$. The domination polynomial of $G$ is the polynomial $D(G,x)=\sum_{i=1}^{n} d(G,i) x^{i}$, where $d(G,i)$ is the number of dominating sets of $G$ of size $i$. In this paper we show that cycles are determined by their domination polynomials.

研究の動機と目的

• サイクルがその支配多項式によって一意に決定されるかどうかという未解決問題を解明すること。
• $C_n$ がすべての正の整数 $n$ に対して ${\cal D}$-一意的であること、すなわち同型でない他のグラフが支配多項式を共有しないことを確立すること。
• この結果を拡張し、ホイールグラフ $W_n = K_1 \vee C_{n-1}$ が同様に ${\cal D}$-一意的であることを示すこと。
• 代数的および再帰的技法を用いて、同一の支配多項式を持つグラフの構造を分析すること。
• 支配多項式が $C_n$ と同じである唯一のグラフが $C_n$ 自身であることを、多項式評価および微分から導かれる不変量を用いて証明すること。

提案手法

• サイクルの支配多項式に対して再帰的公式 $D(C_n, x) = x(D(C_{n-1}, x) + D(C_{n-2}, x) + D(C_{n-3}, x))$ を用いた。
• $p$-進付値 ${\rm ord}_3(D(C_n, -3))$ を用いて、同じ支配多項式を持つグラフの構造を分析した。
• $x = -1$ における支配多項式およびその1階および2階微分の評価により、不変量 $\alpha_n = D(C_n, -1)$、$\beta_n = D'(C_n, -1)$、および $\theta_n = D''(C_n, -1)$ を導出した。
• 帰納法および合同算術（mod 9）を用いて、再帰的関係における係数の3進付値を分析した。
• 支配多項式が等しいこと、すなわち $D(G,x) = D(H,x)$ であるならば、$G$ と $H$ は $k$-正則であり、同型な成分を持つことを、補題1および補題2を活用して利用した。
• 微分評価と合同制約を組み合わせて、$G$ が3つのサイクルの disjoint 和である可能性を排除し、$k=1$ が唯一の解であることを証明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのサイクル $C_n$ は、その支配多項式によって一意に決定されるのか、すなわち $C_n$ は ${\cal D}$-一意的か？
• RQ2 $C_n$ とは異なるグラフが、$C_n$ と同じ支配多項式を持つことは可能か？
• RQ3 支配多項式から得られる不変量（例：$x = -1$、$x = -3$、および微分の評価）は、$C_n$ を他のグラフと区別できるか？
• RQ4 ${\cal D}$-一意性がホイールグラフ $W_n = K_1 \vee C_{n-1}$ のような関連するグラフへも拡張可能か？
• RQ5 ${\cal D}$-同値類の構造は何か？ また、$C_n$ 以外のグラフを含む可能性はあるか？

主な発見

• すべての $n \geq 1$ に対して、サイクル $C_n$ は ${\cal D}$-一意的であり、同型でない他のグラフが支配多項式を共有しない。
• $x = -1$ における支配多項式評価は、$n \equiv 0 \pmod{4}$ のとき $D(C_n, -1) = 3$、それ以外のときは $-1$ である。
• $x = -1$ における1階微分は、$n \equiv 0 \pmod{4}$ のとき $D'(C_n, -1) = -n$、$n \equiv 1 \pmod{4}$ のとき $n$、それ以外のときは $0$ である。
• $x = -1$ における2階微分は、$n \equiv 0 \pmod{4}$ のとき $n(n-4)/2$、$n \equiv 1 \pmod{4}$ のとき $-n(n-1)/2$、$n \equiv 2 \pmod{4}$ のとき $n(n+2)/4$、それ以外のときは $0$ である。
• $3$-進付値 ${\rm ord}_3(D(C_n, -3))$ は、$n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき $\lceil n/3 \rceil$、$n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき $\lceil n/3 \rceil + 1$、$n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき $\lceil n/3 \rceil$ または $\lceil n/3 \rceil + 1$ である。
• $G$ が3つのサイクルの disjoint 和であるという仮定は、微分評価により矛盾を生じさせ、$G$ は単一のサイクルでなければならないことが示され、$k=1$ が唯一の可能性であることが証明された。