[論文レビュー] Cycles de codimension 2 et H^3 non ramifié pour les variétés sur les corps finis

Jean-Louis Colliot-Thélène, Bruno Kahn|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 47被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限体上の滑らかで投影的3次元多様体 $X$ に対して、非分岐コホモロジー群 $H^3_{\text{nr}}(X, Ω^2)$ を調査し、その群の消滅——加えて、$X$ における除数に関するTate予想——が、曲線へのファイブレーションの一般ファイバーにおける0次元サイクルのブラウアー＝マニン型局所-大域原理を示すことにつながることを示している。主な貢献は、高次コホモロジーと0次元サイクルの算術との間の新しい視点を提示したことであり、30年前の基礎的研究を拡張している。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth projective variety over a finite field $\F$. We discuss the unramified cohomology group $H^3_ r(X,\Q/\Z(2))$. Several conjectures put together imply that this group is finite. For certain classes of threefolds, $H^3_ r(X,\Q/\Z(2))$ actually vanishes. It is an open question whether this holds true for arbitrary threefolds. For a threefold $X$ equipped with a fibration onto a curve $C$, the generic fibre of which is a smooth projective surface $V$ over the global field $\F(C)$, the vanishing of $H^3_ r(X,\Q/\Z(2))$ together with the Tate conjecture for divisors on $X$ implies a local-global principle of Brauer--Manin type for the Chow group of zero-cycles on $V$. This sheds a new light on work started thirty years ago. ----- Soit $X$ une variété projective et lisse sur un corps fini $\F$. On s'intéresse au groupe de cohomologie non ramifiée $H^3_ r(X,\Q/\Z(2))$. Un faisceau de conjectures implique que ce groupe est fini. Pour certaines classes de solides, on a $H^3_ r(X,\Q/\Z(2))=0$. Savoir si c'est le cas pour tout solide est un problème ouvert. Lorsqu'un solide $X$ est fibré au-dessus d'une courbe $C$, de fibre générique une surface projective et lisse $V$ sur le corps global $\F(C)$, la combinaison de $H^3_ r(X,\Q/\Z(2))=0$ et de la conjecture de Tate pour $X$ a pour conséquence un principe local-global de type Brauer--Manin pour le groupe de Chow des zéro-cycles de la fibre générique $V$. Ceci éclaire d'un jour nouveau des investigations commencées il y a trente ans.

研究の動機と目的

• 滑らかで投影的な3次元多様体 $X$ に対して、有限体上での非分岐コホモロジー群 $H^3_{\text{nr}}(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))$ の構造と有限性を理解すること。
• すべての有限体上の3次元多様体に対して $H^3_{\text{nr}}(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2)) = 0$ が成り立つかどうかを調査すること。
• このコホモロジー群の消滅と、正の標数の整数環上での曲面上の0次元サイクルの局所-大域原理との間の関係を確立すること。
• $H^3_{\text{nr}}(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))$ の予想的消滅を、$X$ における除数に関するTate予想と結びつけることにより、算術的予想を統一すること。

提案手法

• 非分岐コホモロジー理論とモチビックコホモロジーを用いて、サイクル写像とエタールコホモロジーを通じて $H^3_{\text{nr}}(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))$ を分析する。
• ガロアコホモロジーにおける降下技術を適用し、有限体上でのコホモロジー不変量を、グローバル体上でのそれらと関連付ける。
• モチビック複体と $K$-理論の理論を用いて、$H^3_{\text{nr}}(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))$ を有理同値性への torsion 障害として解釈する。
• 除数に関するTate予想と $H^3_{\text{nr}}(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))$ の消滅を組み合わせることで、一般ファイバーにおける0次元サイクルの算術的帰結を導出する。
• ブラウアー＝マニン障害を用いて、0次元サイクルの局所-大域原理をコホモロジー的言語に翻訳する。
• 標準的予想（Tate、Beilinson、Bass）の下で、$H^3_{\text{nr}}(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))$ の予想的有限性と消滅結果に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての滑らかで投影的な3次元多様体 $X$ に対して、有限体上での $H^3_{\text{nr}}(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2)) = 0$ が成り立つか？
• RQ2 除数に関するTate予想が成り立つとき、$H^3_{\text{nr}}(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2)) = 0$ が与えられた場合、その正確な算術的帰結は何か？
• RQ3 $H^3_{\text{nr}}(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))$ の消滅が、正の標数のグローバル体上での曲面上の0次元サイクルにおけるブラウアー＝マニン型局所-大域原理をどのように示すか？
• RQ4 $H^3_{\text{nr}}(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))$ の予想的有限性が、有限体上での3次元多様体の0次元サイクルのチャウ群にどの程度制約を加えるか？
• RQ5 他の標準的予想（算術幾何における）から、$H^3_{\text{nr}}(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))$ の予想的消滅を導くことは可能か？

主な発見

• 有限体上での滑らかで投影的な3次元多様体 $X$ に対して、非分岐コホモロジー群 $H^3_{\text{nr}}(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))$ は予想的に有限であり、特定のクラスの3次元多様体では恒等的に消滅する。
• $X$ が曲線 $C$ にたいしてファイブレーションであり、一般ファイバーが $\mathbb{F}(C)$ 上の滑らかで投影的な曲面 $V$ であるとき、$H^3_{\text{nr}}(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2)) = 0$ かつ $X$ における除数に関するTate予想が成り立つならば、$V$ の0次元サイクルのチャウ群に対してブラウアー＝マニン型の局所-大域原理が成り立つ。
• $H^3_{\text{nr}}(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))$ の消滅は、Tate予想の下で、$V$ 上の次数 $l$ と互いに素な0次元サイクルのハッセの原理に対するブラウアー＝マニン障害が唯一の障害であることを示唆する。
• バース予想と除数に関するTate予想の両方の仮定の下で、群 $H^3_{\text{nr}}(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))$ が有限であることが示された。
• 本稿は、有限体上でのすべての3次元多様体に対して $H^3_{\text{nr}}(X, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2))$ の予想的消滅が成り立つならば、正の標数のグローバル体上での曲面上の0次元サイクルに対する強い局所-大域原理が成り立つことを確立した。
• 結果として、正の標数のグローバル体上での0次元サイクルとブラウアー＝マニン障害に関する以前の研究を統合・拡張する、新しいコホモロジー的枠組みが得られた。