[論文レビュー] Cycles of Quadratic Polynomials and Rational Points on a Genus-Two Curve

E. V. Flynn, Bjorn Poonen+1 more|ArXiv.org|Aug 4, 1995

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、有理数体 ℚ 上の二次多項式に対して、周期5の有理周期点が存在しないことを証明し、Mortonの周期4の結果を拡張する。周期5の巡回に関する種数14の曲線を用い、2-降下法とChabauty–Coleman法を用いて、その種数2の商曲線上の有理点を計算することで、超楕円曲線上の有理点の計算モデルを確立し、無限に多くの N に対してGalois安定な巡回が存在することを示す。一方、曲線の非モジュラー性を確認した。

ABSTRACT

It has been conjectured that for $N$ sufficiently large, there are no quadratic polynomials in $\bold Q[z]$ with rational periodic points of period $N$. Morton proved there were none with $N=4$, by showing that the genus~$2$ algebraic curve that classifies periodic points of period~4 is birational to $X_1(16)$, whose rational points had been previously computed. We prove there are none with $N=5$. Here the relevant curve has genus~$14$, but it has a genus~$2$ quotient, whose rational points we compute by performing a~$2$-descent on its Jacobian and applying a refinement of the method of Chabauty and Coleman. We hope that our computation will serve as a model for others who need to compute rational points on hyperelliptic curves. We also describe the three possible Gal$_{\bold Q}$-stable $5$-cycles, and show that there exist Gal$_{\bold Q}$-stable $N$-cycles for infinitely many $N$. Furthermore, we answer a question of Morton by showing that the genus~$14$ curve and its quotient are not modular. Finally, we mention some partial results for $N=6$.

研究の動機と目的

• 十分大きな N に対して、ℚ 上の二次多項式が有理周期点を周期 N で持たないという予想を、N=5 の場合に証明すること。
• 二次多項式の周期5巡回から生じる高種数の超楕円曲線（種数14）上の有理点を計算すること。
• 2-降下法と洗練されたChabauty–Coleman技術を用いた、超楕円曲線上の有理点の計算フレームワークを構築し、実証すること。
• Galois安定周期巡回の構造を調査し、無限に多くの N に対してそのような巡回が存在するかどうかを特定すること。
• Mortonが提起した、種数14の曲線およびその商曲線のモジュラー性についての問題に答えること。

提案手法

• 著者らは、ℚ[z] 上の二次多項式の周期5の有理周期点を分類する代数的曲線を構成し、その種数は14である。
• この曲線の種数2の商曲線を特定し、有理点の計算に適した形にした。
• 種数2の商曲線のヤコビアンに対して2-降下法を適用し、Mordell-Weilランクの上限を求める。
• p進積分を用いた洗練されたChabauty–Coleman法を適用し、種数2の商曲線上のすべての有理点を計算する。
• 商曲線上の有理点を元の種数14の曲線に戻して、周期5巡回の構造を分析する。
• 曲線の自己同型群とGalois表現の群論的解析を通じて、Galois作用による巡回の構造を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数体 ℚ 上の二次多項式に対して、周期5の有理周期点は存在するか？
• RQ2 降下法とp進法を用いて、種数14の超楕円曲線上の有理点を効果的に計算できるか？
• RQ3 周期NのGalois安定周期巡回は、無限に多くのNに対して存在するか？
• RQ4 種数14の曲線またはその種数2の商曲線はモジュラーか？
• RQ5 有理二次写像の文脈において、可能なGalois安定5巡回は何か？

主な発見

• 有理数体 ℚ 上の二次多項式に対して、周期5の有理周期点は存在しない。N=5 の場合に予想が確認された。
• 周期5曲線の種数2の商曲線上の有理点は、2-降下法とChabauty–Coleman法を用いて完全に計算された。
• 著者らは、Gal(ℚ̄/ℚ) の作用の下でのGalois安定5巡回の3通りの可能な型を詳細に分類した。
• Galois安定N巡回が無限に多くのNに対して存在することを示し、既知の例を拡張した。
• 種数14の曲線およびその種数2の商曲線はモジュラーでないことが示され、Mortonの問いに答えが得られた。
• N=6 についても部分的な結果が得られたが、完全な分類は未解決のままである。