[論文レビュー] Cycles of random permutations with restricted cycle lengths

Florent Benaych-Georges|ArXiv.org|Dec 12, 2007

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、許容される巡回長の集合 A に対して一般な条件の下で、巡回長が制限されたランダム置換における固定長の巡回の個数について、漸近的独立性およびポアソン極限定理を確立する。A が無限集合で密度条件を満たす場合、巡回数は弱収束して、それぞれ独立にポアソン(1/k)に収束する。A が有限集合の場合、最大巡回長の巡回が支配的となり、個数は n^{l/d}/l に比例してスケーリングする。ここで d = max A である。

ABSTRACT

We prove some general results about the asymptotics of the distribution of the number of cycles of given length of a random permutation whose distribution is invariant under conjugation. These results were first established to be applied in a forthcoming paper (Cycles of free words in several random permutations with restricted cycles lengths), where we prove results about cycles of random permutations which can be written as free words in several independent random permutations. However, we also apply them here to prove asymptotic results about random permutations with restricted cycle lengths. More specifically, for $A$ a set of positive integers, we consider a random permutation chosen uniformly among the permutations of $\{1,..., n\}$ which have all their cycle lengths in $A$, and then let $n$ tend to infinity. Improving slightly a recent result of Yakymiv (Random A-Permutations: Convergence to a Poisson Process), we prove that under a general hypothesis on $A$, the numbers of cycles with fixed lengths of this random permutation are asymptotically independent and distributed according to Poisson distributions. In the case where $A$ is finite, we prove that the behavior of these random variables is completely different: cycles with length $\max A$ are predominant.

研究の動機と目的

• 巡回長が制限されたランダム置換における固定長の巡回個数が、独立なポアソン分布に収束する一般条件を確立すること。
• 一様ランダム置換に関する古典的結果を、巡回長が集合 A に制限された A-置換に拡張すること。
• A が有限か無限かに応じた漸近的挙動の対比を分析すること、特に有限の場合における最大巡回長の支配的性質に注目すること。
• 以降の研究で必要となる、巡回長が制限された独立なランダム置換の自由語における巡回の理論的基盤を提供すること。
• 解析的組合せ論の手法とは異なり、共役不変性とモーメントの漸近挙動を用いた、簡潔で分析的な証明を提供すること。

提案手法

• 対称群上の確率測度の共役不変性を活用して、巡回数のモーメント計算を簡略化する。
• 恒等式 $\mathbb{E}_n[N_l(\sigma_n)^m] = \frac{1}{l^m} \sum_{j=1}^m \binom{m}{m_1,\dots,m_j} \mathbb{P}_n(1,\dots,j \text{ が長さ } l \text{ の巡回に属する})$ を用い、問題を特定の要素が同じ長さの巡回に属する確率の計算に還元する。
• インデックスの分割と多項係数を用いた組合せ的数え上げにより、j 個の特定要素が長さ l の巡回に属する確率を計算する。
• A-置換の指数型母関数に関する既知の結果と生成関数を用いて、$|\mathfrak{S}_{n-k}^{(A)}| / |\mathfrak{S}_n^{(A)}|$ の漸近的解析を実施する。
• 単集合への分割に注目することで、主項を導出し、$\mathbb{P}_n(1,\dots,j \text{ が長さ } l \text{ の巡回に属する}) \sim n^{(l/d - 1)j}$ が成り立つことを示す。ここで d = max A である。
• モーメントの漸近挙動と分布収束を組み合わせ、A が無限集合の場合に独立したポアソン分布の積に弱収束することを結論づけ、A が有限集合の場合にはべき則スケーリングを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回長の許容集合 A に対して、A-置換における固定長の巡回個数が、独立なポアソン確率変数に分布収束するための条件は何か？
• RQ2 A が有限集合か無限集合かに応じて、巡回数の漸近的挙動はどのように異なるか？
• RQ3 A が有限集合で d = max A のとき、A-置換における長さ l の巡回個数の正確なスケーリング挙動は何か？
• RQ4 有限集合 A の最大巡回長 d が、置換の漸近的構造に与える影響、特に被覆される要素の割合の観点から、どのように現れるか？
• RQ5 生成関数の完全な漸近解析に依存せずに、A-置換における巡回数の漸近的独立性をモーメント法によって確立できるか？

主な発見

• A が密度仮説（例えば正の上密度を有する）を満たす無限集合の場合、巡回数 $ (N_k(\sigma_n))_{k \in A, k \leq l} $ の同時分布は、n → ∞ のとき $ \bigotimes_{k \in A, k \leq l} \operatorname{Poiss}(1/k) $ に弱収束する。
• A が d = max A を持つ有限集合の場合、長さ l の巡回数について $ \mathbb{E}_n[N_l(\sigma_n)^m] \sim \frac{n^{lm/d}}{l^m} $ が成り立ち、これは $ N_l(\sigma_n)/n^{l/d} \to 1/l $ がすべての p ≥ 1 に対して $ L^p $ で成り立つことを意味する。
• 長さ d の巡回が支配的である：d-巡回が被覆する要素の割合はほとんど確実に 1 に収束するため、置換は漸近的に位数 d を持つ。
• 比 $ |\mathfrak{S}_{n-k}^{(A)}| / |\mathfrak{S}_n^{(A)}| $ の漸近的挙動が $ n^{k/d} $ に漸近することを示し、これがモーメントの漸近挙動を駆動する。
• Yakymiv (2007) が用いた解析的組合せ論の完全な道具立てを避けて、共役不変性と初等的なモーメント解析を用いる証明手法を採用する。
• Yakymiv (2007) の結果を改善し、より弱い仮定の下でポアソン極限を確立するとともに、モーメント収束を用いたより短く直接的な証明を提供する。