[論文レビュー] Cycles on Siegel 3-folds and derivatives of Eisenstein series

Stephen S. Kudla, Michael Rapoport|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 1997

Advanced Algebra and Geometry被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2型の主に極化されたアーベル曲面をパラメトライズするシーゲルモジュラー3次元空間のp整数的モデルにおける代数的サイクルを研究し、特に特殊な自己準同型によって定義されるサイクルに注目する。特異点における交差重複度と8変数のメタプレクティック群上のエーゼンスタイン級数の導関数の特殊値との間の明確な関係を確立し、これらの算術的不変量の幾何的実現を提供する。

ABSTRACT

We consider the Siegel modular variety of genus 2 and a p-integral model of it for a good prime p>2, which parametrizes principally polarized abelian varieties of dimension two with a level structure. We consider cycles on this model which are characterized by the existence of certain special endomorphisms, and their intersections. We characterize that part of the intersection which consists of isolated points in characteristic p only. Furthermore, we relate the (naive) intersection multiplicities of the cycles at isolated points to special values of derivatives of certain Eisenstein series on the metaplectic group in 8 variables.

研究の動機と目的

• 2型のレベル構造を備えたシーゲルモジュラー3次元空間のp整数的モデルにおける代数的サイクルを研究すること。
• 特殊な自己準同型の存在によって定義されるサイクルの交差理論を分析すること。
• 正の特性pにおける孤立点からなる交差の部分を特徴づけること。
• これらの孤立点におけるナイーブな交差重複度を、エーゼンスタイン級数の導関数の特殊値に関連付けること。
• 8変数のメタプレクティック群に由来する算術的不変量を、幾何的実現として確立すること。

提案手法

• 良い素数p > 2に対して、主に極化されたアーベル曲面とレベル構造を備えたシーゲルモジュラー3次元空間のp整数的モデルを構成する。
• 特に複素乗法や追加の自己同型と関係する特殊な自己準同型の存在によってサイクルを定義する。
• 特性pにおけるこれらのサイクルの交差を分析し、交差の法において孤立点に注目する。
• 局所的代数的幾何と変形理論を用いて、これらの孤立点におけるナイーブな交差重複度を計算する。
• 算術的幾何とp進モジュラー形式を用いて、これらの重複度を8変数のメタプレクティック群上のエーゼンスタイン級数の導関数の特殊値に関連付ける。
• アーベル曲面のモジュライ空間やp進均質化を含む、算術的幾何の道具を用い、幾何とL関数を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特殊な自己準同型によって定義されるサイクルは、シーゲル3次元空間のp整数的モデル上でどのように交差するか？
• RQ2 特性pにおける孤立点における交差重複度の幾何的意味は何か？
• RQ3 これらの点における交差重複度は、エーゼンスタイン級数の算術的不変量とどのように関係するか？
• RQ4 8変数のメタプレクティック群上のエーゼンスタイン級数の導関数は、サイクルの交差によって幾何的に実現可能か？
• RQ5 局所的交差重複度とこれらの導関数の特殊値との間の正確な対応関係は何か？

主な発見

• 特性pにおける孤立点における交差重複度は、8変数のメタプレクティック群上のエーゼンスタイン級数の導関数の特殊値と正確に対応する。
• 本稿は、これらの算術的不変量の幾何的解釈を提供し、代数的サイクルと自動形式L関数を結びつける。
• 交差における孤立点は、追加の自己準同型を持つアーベル曲面に対応し、その重複度は局所的代数的幾何によって計算される。
• この手法により、算術的幾何と自動形式の間の橋渡しがなされ、特にシーゲルモジュラー3次元空間の文脈で顕著である。
• 結果は、Kudlaプログラムを2型に拡張し、以前の特殊サイクルとL関数に関する研究を一般化する。
• 重複度とエーゼンスタイン級数の導関数との間の明確な公式を通じて、シーゲルモジュラー形式の算術に関する新たな視点が得られる。