[論文レビュー] Cycles with two blocks in $k$-chromatic digraphs

Ringi Kim, Seog‐Jin Kim+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、強連結な有向グラフにおける彩色数の上限に関する予想を解決し、$k$-彩色有向グラフが2ブロックサイクル $c(k,\ell)$ を持たない場合、彩色数が $O((k+\ell)^2)$ 未満であることを証明している。これは以前の $O((k+\ell)^4)$ の上限を改善したものである。さらに、元の予想が誤りであることを示す反例を構成し、このようなサイクルを避けるハミルトン有向グラフについて、タイトな退化度および彩色数の上限を確立している。

ABSTRACT

Let $k$ and $\ell$ be positive integers. A cycle with two blocks $c(k,\ell)$ is an oriented cycle which consists of two internally (vertex) disjoint directed paths of lengths at least $k$ and $\ell$, respectively, from a vertex to another one. A problem of Addario-Berry, Havet and Thomassé (2007) asked if, given positive integers $k$ and $\ell$ such that $k+\ell\ge 4$, any strongly connected digraph $D$ containing no $c(k,\ell)$ has chromatic number at most $k+\ell-1$. In this paper, we show that such digraph $D$ has chromatic number at most $O((k+\ell)^2)$, improving the previous upper bound $O((k+\ell)^4)$ obtained by Cohen, Havet, Lochet and Nisse (2016). In fact, we are able to find a digraph which shows that the answer to the above problem is no. We also show that if in addition $D$ is Hamiltonian, then its underlying simple graph is $(k+\ell-1)$-degenerate and thus the chromatic number of $D$ is at most $k+\ell$, which is tight.

研究の動機と目的

• 2ブロックサイクル $c(k,\ell)$ を持たない強連結有向グラフの彩色数に関する、Addario-Berry, Havet, Thomassé による予想を解決すること。
• $k$-彩色有向グラフが $c(k,\ell)$ を避ける場合の彩色数の上界を、$O((k+\ell)^4)$ から $O((k+\ell)^2)$ に改善すること。
• 元の予想の上界 $k+\ell-1$ が誤りであることを示す反例を構成すること。
• $c(k,\ell)$ を避けるハミルトン有向グラフについて、タイトな退化度および彩色数の上限を確立し、その基礎となるグラフが $(k+\ell-1)$-退化的であることを示すこと。

提案手法

• 2ブロックサイクルを含まない有向グラフの頂点の近傍構造を分析するため、サイクルツリーと外部アークを用いた新しい構造的分解を導入する。
• 2段階の彩色枠組みを適用する：まず内部構造 $F^{(1)}$ を $k+2\ell-1$ 色で彩色し、次に外部アーク $F^{(2)}$ を2色で彩色し、それらを組み合わせて妥当な彩色を得る。
• サイクルツリーの順序に関する帰納法を用いて、関数 $\phi$ の逆像に由来する部分グラフ $F^{(1)}$ が $(k+2\ell-2)$-退化的であることを証明する。
• 各頂点が前方または後方のいずれか一方に高々 $\ell-2$ 個の外部近傍を持つことを示す重要な補題を用いることで、近傍の成長を制限する。
• ハミルトン性を活用して、定理1.5の退化度結果を適用し、このような有向グラフの基礎となるグラフが $(k+\ell-1)$-退化的であることを証明する。
• 構造的解析と退化度の議論を組み合わせ、$F^{(1)}$ と $F^{(2)}$ の積彩色を用いて最終的な彩色上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2ブロックサイクル $c(k,\ell)$ を持たない強連結有向グラフの彩色数は、予想されたように $k+\ell-1$ で抑えられるか？
• RQ2 $k$-彩色有向グラフが $c(k,\ell)$ を避ける場合、その彩色数は $k+\ell$ の二次関数で抑えられるか？
• RQ3 2ブロックサイクル $c(k,\ell)$ を避ける有向グラフにハミルトン閉路が存在する場合、その基礎となるグラフは $(k+\ell-1)$-退化的であるか？
• RQ4 元の予想のタイトな上界 $k+\ell-1$ が誤りであることを示す反例を構成できるか？

主な発見

• 2ブロックサイクル $c(k,\ell)$ を持たない任意の強連結有向グラフの彩色数は、$2(2k-3)(k+2\ell-1)$ 未満であり、これは $O((k+\ell)^2)$ に相当する。
• この論文は、元の予想の上界 $k+\ell-1$ が誤りであることを示す有向グラフを構成しており、予想が一般には成り立たないことを証明している。
• 2ブロックサイクル $c(k,\ell)$ を避けるハミルトン有向グラフについて、基礎となるグラフは $(k+\ell-1)$-退化的であるため、彩色数は $k+\ell$ 未満であり、この上界はタイトである。
• 関数 $\phi$ による頂点の逆像に由来する部分グラフ $F^{(1)}$ が $(k+2\ell-2)$-退化的であることが示され、これにより彩色の上界が改善された。
• 各頂点が前方または後方のいずれか一方に高々 $\ell-2$ 個の外部近傍を持つことが証明され、これは近傍サイズの上限を求める上で鍵となる。
• 最終的な彩色は、$F^{(1)}$ を $k+2\ell-1$ 色、$F^{(2)}$ を2色で行う積彩色により構成され、コア部分グラフに対して $2(k+2\ell-1)$ 色の妥当な彩色が得られる。