[論文レビュー] Cyclic algebras and construction of some Galois modules

Ján Mináč, Andrew Schultz+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2004

Rings, Modules, and Algebras参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Galois群 G が位数 p^n である巡回拡大 K/F を構成し、任意の素数 p および i < n に対して、F_pG-加群 J = K^×/K^×^p が次元 p^i + 1 の非分解直和成分を含むような拡大が存在することを証明する。この結果により、すべての許容可能なパrameterについてそのような成分の存在が保証され、Galois加群論における実現可能性問題が解決される。

ABSTRACT

Let p be a prime and suppose that K/F is a cyclic extension of degree p n with group G. Let J be the FpG-module K × /K ×p of pth-power classes. In our previous paper we established precise conditions for J to contain an indecomposable direct summand of dimension not a power of p. At most one such summand exists, and its dimension must be p i + 1 for some 0 ≤ i &amp;lt; n. We show that for all primes p and all 0 ≤ i &amp;lt; n, there exists a field extension K/F with a summand of dimension p i + 1.

研究の動機と目的

• 巡回拡大 K/F が位数 p^n であるとき、F_pG-加群 J = K^×/K^×^p に次元 p^i + 1 の非分解直和成分が存在するかどうかを特定すること。
• すべての素数 p およびすべての i < n に対して、そのような成分が実現可能かどうかという実現可能性問題を解決すること。
• J に次元 p^i + 1 の非分解成分を含むような明示的な体拡大 K/F を構成すること。

提案手法

• Galois群 G が位数 p^n である巡回拡大 K/F の構造を用いて、F_pG 上の加群 J = K^×/K^×^p を分析する。
• J における非分解直和成分の存在条件に関する先行研究の結果を応用し、次元制約に注目する。
• 類体論およびコhomオロジー的技法を用いて、特定の加群成分が現れるような拡大を構成する。
• 任意の p および i < n に対して、J に次元 p^i + 1 の成分を含む適切な拡大が構成可能であることを示す。
• 先行研究における一意性結果（高々1つのような成分しか存在しない）を用いて、構成が正確であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた素数 p および整数 i < n に対して、位数 p^n の巡回拡大 K/F が存在し、F_pG-加群 J = K^×/K^×^p に次元 p^i + 1 の非分解直和成分を含むかどうか。
• RQ2 すべての許容可能な p および i < n に対して、そのような成分が数体上に実現可能かどうか。
• RQ3 この設定において、このような非分解直和成分の次元として p^i + 1 以外にあり得る次元は存在するか。

主な発見

• すべての素数 p および 0 ≤ i < n を満たすすべての i に対して、位数 p^n の巡回拡大 K/F が存在し、F_pG-加群 J = K^×/K^×^p に次元 p^i + 1 の非分解直和成分を含む。
• すべての p と i < n の組み合わせについてそのような成分の存在が実現可能であり、理論的に可能なすべての次元が実現可能であることが確認された。
• 構成法により、高々1つのような非分解直和成分しか存在しないことが保証されており、以前の結果と整合している。
• この方法はすべての素数 p およびすべての有効な i < n に対して一様な構成法を提供し、広範な適用可能性を示している。