[論文レビュー] Cyclic and Quasi-Cyclic LDPC Codes on Row and Column Constrained Parity-Check Matrices and Their Trapping Sets

Qin Huang, Qiuju Diao+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2010

Error Correcting Code Techniques参考文献 67被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、巡回行列に基づく奇数チェック行列の列および行の置換を用いて、巡回符号から巡回的および準巡回的LDPC符号を導出する手法を提案する。これにより、効率的な符号化とデコードが可能となる。また、特定の有限幾何学的および有限体ベースのLDPC符号が、最小距離未満の有害なトラッピング集合を有さないことを証明し、誤りフロアが最小重量に支配され、$10^{-11}$ビット誤り率まで近似的最適性能を達成することが示された。

ABSTRACT

This paper is concerned with construction and structural analysis of both cyclic and quasi-cyclic codes, particularly LDPC codes. It consists of three parts. The first part shows that a cyclic code given by a parity-check matrix in circulant form can be decomposed into descendant cyclic and quasi-cyclic codes of various lengths and rates. Some fundamental structural properties of these descendant codes are developed, including the characterizations of the roots of the generator polynomial of a cyclic descendant code. The second part of the paper shows that cyclic and quasi-cyclic descendant LDPC codes can be derived from cyclic finite geometry LDPC codes using the results developed in first part of the paper. This enlarges the repertoire of cyclic LDPC codes. The third part of the paper analyzes the trapping sets of regular LDPC codes whose parity-check matrices satisfy a certain constraint on their rows and columns. Several classes of finite geometry and finite field cyclic and quasi-cyclic LDPC codes with large minimum weights are shown to have no harmful trapping sets with size smaller than their minimum weights. Consequently, their performance error-floors are dominated by their minimum weights.

研究の動機と目的

• 既存の巡回符号から、行列の置換を用いて巡回的および準巡回的LDPC符号を体系的に生成する手法の開発。
• 親となる巡回符号から導出される巡回的および準巡回的符号の構造的性質、特に生成多項式の根の分析。
• RC制約を課したLDPC符号のトラッピング集合構造を調査し、有害な小さなトラッピング集合が存在しない条件を同定。
• 最小距離が大きな有限幾何学的および有限体ベースのLDPC符号が、最小距離未満の小さなトラッピング集合が存在しないため、誤りフロアが最小距離に支配されることを示す。
• 巡回符号を準巡回形式に変換することで、符号化とデコードの利点を統合し、構造的損失なしに実現可能であることを示す。

提案手法

• 巡回符号の巡回行列形式のチェック行列を、列および行の置換を用いて、子としての巡回的および準巡回的符号に分解する。
• 各子となる巡回符号の生成多項式の根を特徴づけ、その代数的構造を分析する。
• 有限幾何学的LDPC符号に分解フレームワークを適用し、新しい家族の巡回的および準巡回的LDPC符号を生成する。
• チェック行列に行-列（RC）制約を課し、タンナーグラフの周囲長が6以上であり、4サイクルを回避することを保証する。
• RC制約を用いて、誤りパターンによって誘導される部分グラフを調べ、奇数次数のチェックノードの数を数えることで、トラッピング集合を分析する。
• QC構造を活用して効率的なハードウェアデコードを実現し、シフトレジスタを用いた線形計算量の符号化を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回的LDPC符号を、符号構造と性能特性を保持したまま、準巡回形式に体系的に変換できるか？
• RQ2 親となる巡回符号から導出される巡回的および準巡回的符号の根本的構造的性質（特に生成多項式の根）は何か？
• RQ3 RC制約を課したLDPC符号が、最小距離未満のサイズの有害なトラッピング集合を回避する条件は何か？
• RQ4 最小距離が大きな有限幾何学的および有限体ベースのLDPC符号が、最小距離未満の小さなトラッピング集合が存在しないため、誤りフロアが最小距離に支配されるか？
• RQ5 巡回符号化と準巡回的デコードの組み合わせを、符号性能や複雑度を損なわずに実用的に実現できるか？

主な発見

• GF(32)上での32次ラテンスクエアから構築された巡回LDPC符号は、最小距離が36以上であり、34未満のトラッピング集合を有さない。これは最小距離が誤りフロアの支配的要因であることを確認する。
• 広範なコンピュータ探索により、34未満の有害なトラッピング集合は検出されず、${\cal T}(36,0)$トラッピング集合はわずか2つに限定される。最小距離が36であることを裏付ける。
• 最小和FPGAデコーダを用いた場合、BLERが$10^{-9}$の時点で、スフィアパッキング境界から1.1 dBの距離にあり、$10^{-11}$ビット誤り率まで目に見える誤りフロアが観測されない。
• GF($2^5$)に基づくQC-LDPC符号${\cal C}_{LS,qc,f}$は、$n=992$、$n-k=31$、$d_{\min} \geq 34$であり、$2^5 - 4 = 28$未満のサイズのトラッピング集合は存在しない。
• 任意のサイズ$\kappa$のトラッピング集合について$1 < \kappa < 2^s - 4$が成り立つ場合、奇数次数のチェックノード数$\tau$は$\tau > 4\kappa$を満たす。これは、小さな有害なトラッピング集合が存在しないことを確認する。
• RC制約を満たす有限幾何学的および有限体ベースのLDPC符号は、最小距離未満のトラッピング集合を有さないことが証明され、誤りフロアが最小距離に支配されることを示した。