[論文レビュー] Cyclic bent functions and their applications in codes, codebooks, designs, MUBs and sequences

Cunsheng Ding, Sihem Mesnager+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{F}_{2^{m-1}} \times \mathbb{F}_2$ 上の巡回バント関数を導入し、既知の族（ケルドック符号やZhouらのものなど）を統一する一般化された構成法を提示する。これらの関数を用いて最適なコードブック、相互に直交する基底（MUBs）、漸近的に最適な系列族を構築する一方で、ケルドック符号の一般化と二次的巡回半バント関数の特徴付けも行う。

ABSTRACT

Let $m$ be an even positive integer. A Boolean bent function $f$ on $\GF{m-1} imes \GF {}$ is called a \emph{cyclic bent function} if for any $a eq b\in \GF {m-1}$ and $ε\in \GF{}$, $f(ax_1,x_2)+f(bx_1,x_2+ε)$ is always bent, where $x_1\in \GF {m-1}, x_2 \in \GF {}$. Cyclic bent functions look extremely rare. This paper focuses on cyclic bent functions on $\GF {m-1} imes \GF {}$ and their applications. The first objective of this paper is to construct a new class of cyclic bent functions, which includes all known constructions of cyclic bent functions as special cases. The second objective is to use cyclic bent functions to construct good mutually unbiased bases (MUBs), codebooks and sequence families. The third objective is to study cyclic semi-bent functions and their applications. The fourth objective is to present a family of binary codes containing the Kerdock code as a special case, and describe their support designs. The results of this paper show that cyclic bent functions and cyclic semi-bent functions have nice applications in several fields such as symmetric cryptography, quantum physics, compressed sensing and CDMA communication.

研究の動機と目的

• 巡回バント関数の概念を $\mathbb{F}_{2^{m-1}} \times \mathbb{F}_2$ 上に明確に定式化し、強い構造的対称性を有するレアなブール関数族を導入すること。
• 既存のすべての巡回バント関数を特別な場合として含む一般化された構成法を開発し、新しいインスタンスを体系的に生成可能にする。
• 巡回バント関数を用いて、レヴェンシュタインおよびウェルチの境界に達するか近接する、最適または漸近的に最適なコードブック、MUBs、系列族を構築すること。
• 巡回バント関数を用いてケルドック符号を一般化し、そのサポート構造から新しい $3$-デザインを導出すること。
• 二次的巡回半バント関数を特徴付け、所定のパラメータと重み分布を有する新しい二値符号を構築すること。

提案手法

• 関数 $f(x_1,x_2)$ を $\mathbb{F}_{2^{m-1}} \times \mathbb{F}_2$ 上で定義し、すべての $a \neq b$ および $\epsilon \in \mathbb{F}_2$ に対して $f(ax_1,x_2) + f(bx_1,x_2+\epsilon)$ がバントであることを保証する、巡回バント関数の一般化された構成法を提案する。
• ワルシュ変換とトレース関数を用いてバント性を検証し、特に絶対トレース $\mathrm{Tr}^{m-1}_1$ と有限体上の二次形式を活用する。
• 巡回バント関数から実数値コードブックと複素数値コードブックを構築：サイズ $(2^{2m-1}+2^m, 2^m)$ の $2^{2^{m-1}-1}$ 個の実数値コードブック（アルファベットサイズ4）と、サイズ $(2^{2(m-1)}+2^{m-1}, 2^{m-1})$ の1つの複素数値コードブックを構築し、それぞれ実数・複素数用のレヴェンシュタイン境界に達する。
• 巡回バント関数および半バント関数を用いて四値および二値系列の族を構築し、最大相関値がウェルチ境界に非常に近い結果を得る。
• 関数の線形化部分から導かれる特定の多項式の最大公約数を用いて、二次的巡回半バント関数を特徴付ける。
• 巡回バント関数を用いて一般化されたケルドック符号を構築し、元のケルドック符号と同一のパラメータと重み分布を持つことを示し、そのサポートから新しい $3$-デザインを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケルドック符号やZhouらの構成から得られる既存の巡回バント関数を統一する一般化された構成法は存在するか？
• RQ2 巡回バント関数を用いて、レヴェンシュタイン境界を満たす最適または漸近的に最適なコードブックを構築できるか？
• RQ3 巡回バント関数を用いて、$\mathbb{C}^{2^{m-1}}$ における完全な相互に直交する基底（MUBs）の集合を構築できるか？
• RQ4 巡回バントおよび半バント関数から、最大相関がウェルチ境界に近い低相関系列族を体系的に構築できるか？
• RQ5 二次的巡回半バント関数の特徴付けは何か？また、それらを用いて重み分布が既知の新しい二値符号を構築できるか？

主な発見

• ケルドック関数やZhouらの構成を特別な場合として含む、巡回バント関数の一般化された構成法を提案し、既存の族を統一する。
• サイズ $(2^{2m-1}+2^m, 2^m)$、アルファベットサイズ4の実数値コードブックを $2^{2^{m-1}-1}$ 個構築し、実数コードブックのレヴェンシュタイン境界に達する。
• サイズ $(2^{2(m-1)}+2^{m-1}, 2^{m-1})$、アルファベットサイズ6の最適な複素数値コードブックを構築し、複素数コードブックのレヴェンシュタイン境界に達する。
• 偶数 $m$ の場合、巡回バント関数から $\mathbb{C}^{2^{m-1}}$ における完全な $2^{m-1}$ 個の相互に直交する基底（MUBs）の集合を構築する。
• 周期 $2^{m-1}-1$、サイズ $2^{m-1}+1$、最大相関 $\leq 1 + \sqrt{2^{m-1}}$ の四値系列族を構築し、ウェルチ境界に非常に近い。
• 周期 $2(2^{m-1}-1)$、サイズ $2^{m-1}$、最大非自明相関 $2^{m/2}+2$ の二値系列族を巡回バント関数を用いて構築し、漸近的に最適であることを示す。
• $n$ が奇数のとき、パラメータ $(2^n, 2^{2n+1}, 2^{n-1} - 2^{(n-1)/2})$ の新しい二値符号族を、巡回半バント関数を用いて構築する。
• 関連する多項式の2つのGCD条件を用いて、二次的巡回半バント関数を完全に特徴付け、体系的な構築を可能にする。
• 巡回バント関数から導かれる一般化されたケルドック符号は、元のケルドック符号と同一のパラメータと重み分布を持つとともに、そのサポートから新しい $3$-デザインを導出可能である。