[論文レビュー] Cyclic Codes from APN and Planar Functions

Cunsheng Ding|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、有限体上での準完全非線形（APN）関数および平面関数の代数的性質を活用し、巡回符号の最適化およびほぼ最適化を実現する。この手法により、高い最小距離と柔軟な次元を有する符号が得られ、最小重量に対するタイトな下界が得られ、複数のクラスが最適性に達している。応用分野は誤り訂正および暗号理論に及ぶ。

ABSTRACT

Cyclic codes are a subclass of linear codes and have applications in consumer electronics, data storage systems, and communication systems as they have efficient encoding and decoding algorithms. In this paper, almost perfect nonlinear functions and planar functions over finite fields are employed to construct a number of classes of cyclic codes. Lower bounds on the minimum weight of some classes of the cyclic codes are developed. The minimum weights of some other classes of the codes constructed in this paper are determined. The dimensions of the codes are flexible. Many of the codes presented in this paper are optimal or almost optimal in the sense that they meet some bound on linear codes. Ten open problems regarding cyclic codes from highly nonlinear functions are also presented.

研究の動機と目的

• APN関数および平面関数を用いて、有限体上での巡回符号を高最小距離で体系的に構築する手法を開発すること。
• 特に次元および最小重量に注目して、高非線形関数から導かれる巡回符号の構造的性質を調査すること。
• 既知の線形符号に関する境界と比較して、構築された符号が最適性またはほぼ最適性に達する条件を同定すること。
• これらの関数から導かれる系列の線形スパンおよび最小多項式を分析し、符号の効率的な符号化および復号化を支援すること。
• 特に二進および非二進設定において、高非線形関数から巡回符号を構築する際の未解決問題を特定すること。

提案手法

• 有限体 $\mathrm{GF}(q^m)$ 上の準完全非線形（APN）関数および平面関数を用い、周期 $n = q^m - 1$ の系列を定義する。
• 系列の生成関数 $S(x)$ を用いて、$g(x) = \frac{x^n - 1}{\gcd(S(x), x^n - 1)}$ により巡回符号 $\mathcal{C}_s$ を構築する。
• $n = q^m - 1$ における $q$-巡回部分集合を用いて、符号の構造を分析し、生成多項式を同定する。
• 最小多項式および線形スパンの計算を用いて、系列および関連符号の特徴を定量化する。
• 定義系列を変更することで、パラメータが向上した部分符号を導く双対的構成 $\mathcal{C}_{\check{s}}$ を導入する。
• トレース関数および体元の最小多項式を用いて、生成多項式の明示的表現および最小距離の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 APN関数および平面関数を体系的に用いて、高最小距離を持つ巡回符号を構築できるか？
• RQ2 有限体 $\mathrm{GF}(q^m)$ 上のAPN関数および平面関数から構築された巡回符号の最小重量および次元特性は何か？
• RQ3 これらの符号が既知の線形符号に関する境界と比較して最適性またはほぼ最適性に達する条件は何か？
• RQ4 APN関数から導かれる系列の線形スパンおよび最小多項式は、結果として得られる巡回符号の構造および性能にどのように影響するか？
• RQ5 特に二進および非二進設定において、高非線形関数から最適な巡回符号を構築する際の未解決問題は何か？

主な発見

• $m=5$ のとき、符号 $\mathcal{C}_{\check{s}}$ はパラメータ $[31, 20, 6]$ を持ち、これは最適である。
• $m=7$ のとき、符号 $\mathcal{C}_{\check{s}}$ はパラメータ $[127, 98, 8]$ を持ち、最適ではないが、同程度の長さおよび次元を持つ既知の最良の二進巡回符号である可能性がある。
• ウェルチのAPN関数 $f(x) = x^{2^t + 3}$ によって定義される系列の線形スパンは、奇数の $m \geq 7$ に対して $4m + 1$ である。
• 系列 $\check{s}^\infty$ の最小多項式は $\mathbb{M}_{\check{s}}(x) = (x-1)m_{\alpha^{-1}}(x)m_{\alpha^{-3}}(x)m_{\alpha^{-(2^t+1)}}(x)m_{\alpha^{-(2^t+2)}}(x)$ である。
• 逆APN関数および最初のニホAPN関数から導かれる系列は、大きな線形スパンを示し、ストリーム暗号の鍵スティームとしての利用に適している。
• 高非線形関数から巡回符号を構築する問題に関して、10の未解決問題が同定された。特に、最適性およびパラメータ境界に関するものである。