[論文レビュー] Cyclic Codes from Dickson Polynomials

Cunsheng Ding|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、小さな次数の第一種ディクソン多項式を用いて、有限体上での最適およびほぼ最適な循環符号を構成する。これらの多項式の代数的構造と関連する系列の性質を活用することで、柔軟な次元を持つ循環符号を導出し、最小重量の下界または正確な値を確立する。これにより、多数の構成された符号が最適またはほぼ最適であることが示された。

ABSTRACT

Due to their efficient encoding and decoding algorithms cyclic codes, a subclass of linear codes, have applications in consumer electronics, data storage systems, and communication systems. In this paper, Dickson polynomials of the first and second kind over finite fields are employed to construct a number of classes of cyclic codes. Lower bounds on the minimum weight of some classes of the cyclic codes are developed. The minimum weights of some other classes of the codes constructed in this paper are determined. The dimensions of the codes obtained in this paper are flexible. Most of the codes presented in this paper are optimal or almost optimal in the sense that they meet some bound on linear codes. Over ninety cyclic codes of this paper should be used to update the current database of tables of best linear codes known. Among them sixty are optimal in the sense that they meet some bound on linear codes and the rest are cyclic codes having the same parameters as the best linear code in the current database maintained at http://www.codetables.de/.

研究の動機と目的

• 有限体上での第一種ディクソン多項式を用いた循環符号の体系的構成法の開発。
• 得られる循環符号の最小距離および次元の調査、特に最適性に焦点を当てる。
• ディクソン多項式と既知の循環符号族（例えば、BCH符号など）との関係の探求。
• 提案された構成法が、最小距離の観点でしばしば最適またはほぼ最適な符号を生成することの証明。
• 低次のディクソン多項式から導かれるいくつかの符号クラスについて、最小重量の明示的下界および正確な値の提供。

提案手法

• 有限体 GF(q) 上の小さな次数の第一種ディクソン多項式を用いて、周期 n = q^m - 1 の系列を生成する。
• 系列の生成関数 S(x) を用い、符号の生成多項式を g(x) = (x^n - 1) / gcd(S(x), x^n - 1) として定義する。
• 線形スパンと符号次元の分析に、トレース関数および n = q^m - 1 を法とする q-巡回部分集合の性質を応用する。
• 特に二進系列に対して、GF(2^m) 上の指数和に関する補題14を応用し、系列集合の最大相関を評価する。
• ディクソン多項式および関連するトレース関数の代数的性質を用いて、符号の重み分布および最小距離を分析する。
• 構造的およびパrameter比較を通じて、構成された符号と既知の符号族（例：BCH符号）との同値性または非同値性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さな次数の第一種ディクソン多項式を用いて、最小距離が最適またはほぼ最適な循環符号を構成できるか？
• RQ2 有限体上でのディクソン多項式から導かれる循環符号の正確なまたは下界付きの最小重量は何か？
• RQ3 符号の次元は、ディクソン多項式の次数および基本体の特徴にどのように依存するか？
• RQ4 構成された符号が、BCH符号などの既知の族とどの程度同値であるか？
• RQ5 ディクソン多項式から導かれる系列集合の最大相関は何か？また、それは符号の最適性とどのように関係するか？

主な発見

• 小さな次数の第一種ディクソン多項式から構成された循環符号は、最小距離の観点で頻繁に最適またはほぼ最適である。
• m が奇数で m ≥ 3 である GF(2^m) 上の D₃(x, a) から得られる二進系列に対して、集合 S̄ = S ∪ {s(∞)^∞} の最大相関は 1 + 2^{(m+1)/2} であり、これはシデリニコフおよびレベインシュテインの境界と一致する。
• a = 0 のとき、系列 s(a)^∞ の線形スパンは m または m+1 であり、それ以外の場合は 2m または 2m+1 である。これは良好な複雑性特性を示している。
• 系列集合 S のサイズは 2^m であり、すべての系列が互いに異なるため、相関が制御された豊富な系列族が得られる。
• 構成された符号は、ディクソン多項式の次数および体の特徴に応じて、柔軟な次元を示す。
• いくつかのケースにおいて、ディクソン多項式から導かれる符号 𝒞_s が BCH 符号と同値であることが示されたが、次元および最小距離は提案手法により明示的に決定されている。