[論文レビュー] Cyclic cohomology and Hopf algebras

Alain Connes, Henri Moscovici|ArXiv.org|Apr 27, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、特徴的類から導かれた明示的公式を用いて、モジュラス的性質を持つキャラクターを備えた任意のホップ代数に対して、循環コホモロジーを自然に定義できることを確立している。著者らは、循環モジュールの公理を直接証明し、非可換幾何学におけるリー代数コホモロジーの一般化を達成し、横断的幾何や量子群をカバーする。

ABSTRACT

We show by a direct computation that, for any Hopf algebra with a modulus-like character, the formulas first introduced in [CM] in the context of characteristic classes for actions of Hopf algebras, do define a cyclic module. This provides a natural generalization of Lie algebra cohomology to the general framework of Noncommutative Geometry, which covers the case of the Hopf algebra associated to n-dimensional transverse geometry [CM] as well as the function algebras of the classical quantum groups.

研究の動機と目的

• 循環コホモロジーを伝統的な設定を超えてホップ代数の枠組みへと拡張すること。
• 横断的幾何や量子群のような非可換幾何的構造に適用可能なコホモロジー的道具を提供すること。
• 体系的な構成を通じて、非可換幾何学の文脈でリー代数コホモロジーを一般化すること。
• モジュラス的キャラクターを備えたホップ代数に対して、直接計算を通じて循環モジュール構造を検証すること。
• ホップ代数の作用に関する特徴的類を、一つのコホモロジー的形式主義で統一すること。

提案手法

• [CM]で導入された特徴的類のための循環作用素の明示的公式を採用すること。
• 循環モジュールの公理（循環性、面、退化関係）を、コチェイン複体上で直接検証すること。
• モジュラス的キャラクターを用いて、ねじれたホッフ・コバウンダリーと循環作用素を定義すること。
• キャラクターによるねじれを伴うホップ代数の文脈に、標準的な循環コホモロジーの道具立てを適用すること。
• 反作用素とコプロダクトを用いた計算を通じて、ホップ代数構造との整合性を保証すること。
• 代数的変形により、得られた複体が循環モジュールの公理を満たすことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラス的キャラクターを備えた一般のホップ代数に対して、循環コホモロジーの枠組みを拡張できるか？
• RQ2 [CM]の特徴的類の公式は、ホップ代数の文脈で循環モジュールとしてどのように振る舞うか？
• RQ3 この構成は、非可換幾何学におけるリー代数コホモロジーをどの程度一般化するか？
• RQ4 古典的量子群の関数代数に対して、循環モジュール構造は成立するか？
• RQ5 モジュラス的キャラクターは、コホモロジー複体の循環的対称性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• [CM]の公式を用いて定義された循環コホモロジー複体は、任意のモジュラス的キャラクターを備えたホップ代数に対して、well-definedな循環モジュールを形成する。
• 循環モジュールの公理の直接的検証により、追加の仮定なしに構成の整合性が確認された。
• ホップ代数の作用を組み込むことで、非可換幾何学におけるリー代数コホモロジーの一般化が達成された。
• [CM]で確立された、n次元の横断的幾何のホップ代数へもこの枠組みが適用可能である。
• この方法は、古典的量子群の関数代数へも自然に拡張され、広範な適用可能性を示した。
• モジュラス的キャラクターは、ねじれた循環作用素を定義し、循環性を保証する上で、極めて重要な役割を果たしている。