[論文レビュー] Cyclic Cohomology and Hopf Symmetry

Alain Connes, Henri Moscovici|ArXiv.org|Feb 15, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ホップ代数およびその作用の文脈において循環コホモロジーの枠組みを構築し、ホップ代数の循環コホモロジーと局所コンパクトな量子群の理論を結ぶモジュラーチャラクタリスティック同型写像を確立する。モジュラーペア・インボリューションと自然な $\tilde{\tau}$-不変 $\tilde{\rho}$-トレースの構成を通じて、量子群の代数的・解析的構造の正確な一致を示し、量子群双対性の主要な特徴を統合するモジュラーシンメトリーを提示する。

ABSTRACT

Cyclic cohomology has been recently adapted to the treatment of Hopf symmetry in noncommutative geometry. The resulting theory of characteristic classes for Hopf algebras and their actions on algebras allows to expand the range of applications of cyclic cohomology. It is the goal of the present paper to illustrate these recent developments, with special emphasis on the application to transverse index theory, and point towards future directions. In particular, we highlight the remarkable accord between our framework for cyclic cohomology of Hopf algebras on one hand and both the algebraic as well as the analytic theory of quantum groups on the other, manifest in the construction of the modular square.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学における特徴クラスの枠組みを提供するため、循環コホモロジーをホップ代数およびその作用へと拡張すること。
• 循環コホモロジー的道具を用いて、量子群の代数的理論と解析的理論の橋渡しをすること。
• この枠組みを非可換幾何学における横断的インデックス理論に適用すること。
• ホップ代数の循環コホモロジーと局所コンパクトな量子群の構造を結ぶモジュラーチャラクタリスティック同型写像を構築すること。

提案手法

• 双複体 $(CC^{*,*}, b, B)$ を用いて循環コホモロジーをホップ代数へ適応し、循環性およびホップ代数作用による不変性を統合する。
• $\tilde{\frak H} = \tilde{H}^{\rm op} \times \tilde{H}$ における自然な作用を導入し、反置換 $S$ およびねじれ反置換 $S_{\tilde{d}}$ を含む不変条件を定式化する。
• $\tilde{H}$ 上の $\tau(x) = \tilde{\phi}(\tilde{d}^{-1/4} x \tilde{d}^{-1/4})$ として定義されるミッドウェイトを定義し、これは $\tilde{\rho}$-不変かつ $\tilde{\rho}$-トレースとしての性質を有する。
• $\tilde{\frak H}$ 上にモジュラーペア・インボリューション $(\tilde{\rho}, \tilde{\rho}) = (\tilde{d}^{1/2} \tilde{d}^{-1/2}, \tilde{\sigma}^{1/2} \tilde{\sigma}^{1/2})$ を構成し、モジュラーグループおよび反置換構造と整合性を保証する。
• 二重ねじれ反置換の平方 $(\tilde{\rho}^{-1} \circ S_{\tilde{d}})^2 = I_{\tilde{\frak H}}$ を導出し、量子群双対性と整合することを確認する。
• 循環コホモロジーの双対ホップ代数と元の代数との間を結ぶモジュラーチャラクタリスティック同型写像 $\gamma_{\tau}^{*}: HC_{(\tilde{\delta},\tilde{\sigma})}^{*}(\tilde{\frak H}) \to HC^{*}(\tilde{H})$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 循環コホモロジーは、非可換幾何学におけるホップ対称性をどのように記述できるか？
• RQ2 循環コホモロジー的枠組み内において、量子群の代数的構造と解析的構造の正確な関係は何か？
• RQ3 ホップ代数におけるヘア・ウェイトと反置換構造の相互作用から、モジュラーペア・インボリューションはどのように生じるか？
• RQ4 構築された $\tilde{\tau}$-不変 $\tilde{\rho}$-トレースは、量子群の双対性をどのように反映しているか？
• RQ5 モジュラーシンメトリーは、代数的および解析的量子群理論を統合するために果たす役割は何か？

主な発見

• ホップ代数 $\tilde{\frak H} = \tilde{H}^{\rm op} \times \tilde{H}$ は、モジュラーペア・インボリューション $(\tilde{\rho} = \tilde{d}^{1/2} \tilde{d}^{-1/2}, \tilde{\rho} = \tilde{\sigma}^{1/2} \tilde{\sigma}^{1/2})$ を有し、これは量子群のモジュラー構造を特徴付ける。
• ミッドウェイト $\tau(x) = \tilde{\phi}(\tilde{d}^{-1/4} x \tilde{d}^{-1/4})$ は、$\tilde{\frak H}$ の自然な作用に関して $\tilde{\rho}$-不変かつ $\tilde{\rho}$-トレースとしての性質を有し、モジュラー不変性と整合する。
• トレース $\tau$ のモジュラーグループは $\sigma^{\tau}_t(x) = \tilde{\sigma}^{it/2} \cdot x \cdot \tilde{\sigma}^{it/2}$ で与えられ、ねじれ反置換の作用と一致し、トレースの不変性を確認する。
• 二重ねじれ反置換の平方は $(\tilde{\rho}^{-1} \circ S_{\tilde{d}})^2 = I_{\tilde{\frak H}}$ を満たし、モジュラーシンメトリーがインボリューションであることを示し、双対性構造の妥当性を裏付ける。
• モジュラーチャラクタリスティック同型写像 $\gamma_{\tau}^{*}: HC_{(\tilde{\delta},\tilde{\sigma})}^{*}(\tilde{\frak H}) \to HC^{*}(\tilde{H})$ は適切に定義されており、双対ホップ代数の循環コホモロジーと元の代数との間の橋渡しを果たす。
• 枠組みは、循環コホモロジー的データから一貫してモジュラーペアおよびトレース構造が出現することにより、代数的および解析的量子群理論の間の驚くべき一致を示している。