[論文レビュー] Cyclic Cohomology, Hopf Algebras and the Modular Theory

Alain Connes, Henri Moscovici|ArXiv.org|May 3, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、モジュラー対（群的要素と対合の特性）を備えたホップ代数に対して、標準的な循環モジュールを導入し、非ユニモジュラーの場合への循環コhomologyの拡張を可能にする。この構成により、トレースおよびモジュラー理論と整合する特性類の理論が可能となり、リボン代数、コリボン代数、量子群、およびそれらの双対へ応用可能である。

ABSTRACT

We associate canonically a cyclic module to any Hopf algebra endowed with a modular pair, consisting of a group-like element and a character, in involution. This provides the key construct allowing to extend cyclic cohomology to Hopf algebras in the non-unimodular case and further to develop a theory of characteristic classes for actions of Hopf algebras compatible not only with traces but also with the modular theory of weights. It applies to ribbon and to coribbon algebras, as well as to quantum groups and their duals.

研究の動機と目的

• 標準的構成がモジュラー要素が存在しないために失敗する非ユニモジュラーホップ代数への循環コhomologyの拡張を目的とする。
• トレースおよび重みのモジュラー理論と両立するホップ代数作用の特性類のフレームワークを構築することを目的とする。
• モジュラー作用素が非自明な場合の、量子群およびその双対を含む循環コhomology理論の一般化を目的とする。
• 群的要素と対合の特性からなるモジュラー対（g, χ）に基づく標準的循環モジュールの構成を提供し、モジュラー理論と整合することを保証することを目的とする。
• 特に非ユニモジュラー構造の文脈において、ホップ代数の循環コhomologyにおける双対性とモジュラー不変性の統一的取り扱いを目的とする。

提案手法

• g が群的で、χ が対合の特性であるモジュラー対（g, χ）を備えたホップ代数に関連する循環モジュールを定義する。
• 適切なモジュール上でのホップ代数の作用を用いてモジュールを構成し、モジュラー対を組み込んで非ユニモジュラー性を符号化する。
• 標準的循環構造写像（面、退化、循環作用素）を、モジュラー自己同型と整合するように、モジュラー対によってねじる。
• 得られた循環モジュールを用いて、モジュラー自己同型に関して不変で、トレースと整合する循環コhomology類を定義する。
• リボンおよびコリボン代数、量子群、およびそれらの双対に対して、循環モジュール公理の明示的検証を通じて、この構成の適用可能性を示す。
• 標準的循環モジュールを活用して、重みのモジュラー理論を尊重するホップ代数作用の特性類を定義し、循環コhomologyの適用範囲を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー要素が非自明な非ユニモジュラーホップ代数において、どのように循環コhomologyを拡張できるか？
• RQ2 重みのモジュラー理論と整合する循環モジュールを定義するため、ホップ代数に必要な構造は何か？
• RQ3 群的要素と対合の特性からなるモジュラー対（g, χ）から、標準的循環モジュールを構成できるか？
• RQ4 得られた循環コhomology類は、量子群の文脈においてトレースおよびモジュラー自己同型とどのように関係するか？
• RQ5 提案された構成は、ユニモジュラーでない場合に、ホップ代数作用の特性類をどのように一般化するか？

主な発見

• 任意のモジュラー対（g, χ）（g が群的で、χ が対合の特性）を備えたホップ代数に対して、標準的循環モジュールが構成された。
• この構成により、非ユニモジュラーの場合への循環コhomologyの拡張が可能となり、理論における主要な障害が解消された。
• 循環モジュール構造はモジュラー自己同型に関して不変であり、重みのモジュラー理論と整合することが保証された。
• フレームワークにより、トレースおよびモジュラーデータと両立するホップ代数作用の特性類の定義が可能となった。
• この方法はリボンおよびコリボン代数、量子群、およびそれらの双対に適用可能であり、モジュラー不変性の統一的取り扱いを提供する。
• 理論により、モジュラー作用素を循環コhomologyに体系的に組み込む方法が得られ、非ユニモジュラー量子対称性への適用範囲が拡張された。