[論文レビュー] Cyclic cohomology of certain nuclear Fréchet and DF algebras

Zinaida A. Lykova|ArXiv.org|Apr 8, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、核FréchetおよびDF代数、特にテンソル代数、Köthe代数、およびコンパクトなLie群上の滑らかな関数や分布の代数を含む、連続Hochschildおよび循環的（余）ホモロジーの明示的で位相的同型な分類を確立する。核DF空間におけるホモロジー的技法を用い、余ホモロジーの同型が自動的に位相的であることを証明することで、バナッハ代数からより広いクラスの位相的代数へ既知の結果を一般化する。

ABSTRACT

We give explicit formulae for the continuous Hochschild and cyclic homology and cohomology of certain topological algebras. To this end we show that, for a continuous morphism $ϕ: \X o \Y$ of complexes of complete nuclear $DF$-spaces, the isomorphism of cohomology groups $H^n(ϕ): H^n(\X) o H^n(\Y)$ is automatically topological. The continuous cyclic-type homology and cohomology are described up to topological isomorphism for the following classes of biprojective $\hat{\otimes}$-algebras: the tensor algebra $E \hat{\otimes} F$ generated by the duality $(E, F, < \cdot, \cdot >)$ for nuclear Fréchet spaces $E$ and $F$ or for nuclear $DF$-spaces $E$ and $F$; nuclear biprojective Köthe algebras $λ(P)$ which are Fréchet spaces or $DF$-spaces; the algebra of distributions $\mathcal{E}^*(G)$ on a compact Lie group $G$.

研究の動機と目的

• バナッハ代数から核FréchetおよびDF代数を含むより広いクラスの位相的代数へ、連続Hochschildおよび循環的（余）ホモロジー理論を拡張すること。
• バナッハの場合を越えて、位相的代数におけるこれらのホモロジーおよび余ホモロジー群を明示的に計算する課題を解決すること。
• 完全核DF空間の複体の余ホモロジー同型が自動的に位相的であることを確立し、より強い構造的結果を得ること。
• 主要な双射性核$\hat{\otimes}$-代数のクラスにおける連続的循環的タイプの（余）ホモロジーの明示的で位相的同型な記述を提供すること。
• 既知の結果を$\mathcal{E}(G)$, $\mathcal{E}^*(G)$, $E\hat{\otimes}F$, およびKöthe代数$\lambda(P)$と$\lambda(P)^*$のクラスにおいて統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 完全核DF空間のカテゴリにおけるホモロジー代数的手法を用い、射影的テンソル積および閉部分空間において安定である性質を活用する。
• 局所凸空間における開写像定理を適用し、完全核DF空間の複体の余ホモロジー群間の同型が自動的に位相的であることを証明する。
• 核FréchetまたはDF空間$E$および$F$からなる双対性ペア$(E,F,\langle\cdot,\cdot\rangle)$によって生成される$\hat{\otimes}$-代数の理論を用いる。
• Köthe集合$P$に対して条件(P3)、(P4)、(P5)を満たす核双射性Köthe代数$\lambda(P)$およびその強い双対$\lambda(P)^*$に関する結果を適用する。
• 代数$\mathcal{E}(G)$, $\mathcal{E}^*(G)$, および$\Re = s\hat{\otimes}s$が核的かつ双射的であるという事実を用い、構造定理によりそれらの（余）ホモロジーを導出する。
• 交換子商$\mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]$およびトレース空間$\mathcal{A}^{tr}$の構造を用いて、すべての循環的タイプの（余）ホモロジー群の明示的公式を位相的同型の意味で導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 核FréchetおよびDF代数において、バナッハの場合を越えて連続Hochschildおよび循環的（余）ホモロジーをどのように明示的に計算できるか。
• RQ2 完全核DF空間の複体間の余ホモロジー同型が自動的に位相的であるのはどのような条件下か。
• RQ3 核FréchetまたはDF空間$E$および$F$について、テンソル代数$E\hat{\otimes}F$の連続的循環的タイプの（余）ホモロジー群は何か。
• RQ4 核双射性Köthe代数$\lambda(P)$およびその強い双対$\lambda(P)^*$の連続的（余）ホモロジーは何か。
• RQ5 コンパクトなLie群$G$上の滑らかな関数$\mathcal{E}(G)$および分布$\mathcal{E}^*(G)$の代数の（余）ホモロジー群はどのように振る舞うか。

主な発見

• 定理6.8のクラス(i)～(v)に属するすべての代数について、ナイーブおよびバー循環的ホモロジー$\mathcal{H}^{naive}_n(\mathcal{A})$および$\mathcal{H}^{bar}_n(\mathcal{A})$は$n \geq 1$で消え、$\mathcal{H}^{naive}_0(\mathcal{A}) = \mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]$である。
• 周期的循環的ホモロジーは、Fréchet代数では位相的同型の意味で、DF代数では線形同型の意味で、$\mathcal{H}\mathcal{P}_0(\mathcal{A}) = \mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]$および$\mathcal{H}\mathcal{P}_1(\mathcal{A}) = \{0\}$を満たす。
• Hochschildホモロジー$\mathcal{H}\mathcal{H}_n(\mathcal{A})$は$n \geq 1$で消え、$\mathcal{H}\mathcal{H}_0(\mathcal{A}) = \mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]$である。
• 循環的ホモロジー$\mathcal{H}\mathcal{C}_{2\ell}(\mathcal{A}) = \mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]$および$\mathcal{H}\mathcal{C}_{2\ell+1}(\mathcal{A}) = \{0\}$はすべての$\ell \geq 0$に対して成り立つ。
• $\mathcal{H}^{n}_{ \text{naive}}(\mathcal{A})$および$\mathcal{H}^{n}_{ \text{bar}}(\mathcal{A})$はすべての$n \geq 1$で消え、$\mathcal{H}^{0}_{ \text{naive}}(\mathcal{A}) = \mathcal{A}/[\mathcal{A},\mathcal{A}]$である。
• Hochschild余ホモロジー$\mathcal{H}\mathcal{H}^n(\mathcal{A})$は$n \geq 1$で消え、$\mathcal{H}\mathcal{H}^0(\mathcal{A}) = \mathcal{A}^{tr}$であり、循環的余ホモロジーはすべての$\ell \geq 0$に対して$\mathcal{H}\mathcal{C}^{2\ell}(\mathcal{A}) = \mathcal{A}^{tr}$および$\mathcal{H}\mathcal{C}^{2\ell+1}(\mathcal{A}) = \{0\}$を満たす。