[論文レビュー] Cyclic Cohomology of Crossed Coproduct Coalgebras

R. Akbarpour, Masoud Khalkhali|ArXiv.org|Jul 23, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、双対的双代数的構造を持つホップ代数 $\mathcal{H}$ とホップコモジュールコボル型 $C$ に対して、cocylindrical モジュール $C\natural\mathcal{H}$ を用いて、$C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ の循環的コホモロジー理論を拡張する。この理論により、$C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ の循環的モジュールと $C\natural\mathcal{H}$ の対角との間に同型が確立される。さらに、$HC^\bullet(C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H})$ を近似するスペクトル系列を構成し、$\mathsf{E}^0$、$\mathsf{E}^1$、$\mathsf{E}^2$ 項の明確な解釈を与える。また、$\mathcal{H}$ がコセミシンプルである場合、$C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ の循環的コホモロジーは、$\mathsf{C}^\bullet_{\mathcal{H}}(C)$ のコインvariantモジュールのものと同型であることを証明する。

ABSTRACT

We extend our work in~\cite{rm01} to the case of Hopf comodule coalgebras. We introduce the cocylindrical module $C atural^{} \mathcal{H}$, where $\mathcal{H}$ is a Hopf algebra with bijective antipode and $C$ is a Hopf comodule coalgebra over $\mathcal{H}$. We show that there exists an isomorphism between the cocyclic module of the crossed coproduct coalgebra $C > \blacktriangleleft \mathcal{H} $ and $Δ(C atural^{}\mathcal{H}) $, the cocyclic module related to the diagonal of $C atural^{} \mathcal{H}$. We approximate $HC^{\bullet}(C > \blacktriangleleft \mathcal{H}) $ by a spectral sequence and we give an interpretation for $ \mathsf{E}^0, \mathsf{E}^1$ and $\mathsf{E}^2 $ terms of this spectral sequence.

研究の動機と目的

• 交差積代数からの循環的コホモロジー手法を、交差コプロダクトコボル型へ一般化すること。
• 双対作用素が可逆であるホップ代数 $\mathcal{H}$ に対して、ホップコモジュールコボル型 $C$ から cocylindrical モジュール $C\natural\mathcal{H}$ を構成すること。
• 交差コプロダクト $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ の循環的モジュールと $C\natural\mathcal{H}$ の対角との間に同型を確立すること。
• スペクトル系列を用いて $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ の循環的コホモロジーを近似し、その初期項を解釈すること。
• コインvariantモジュール $\mathsf{C}^\bullet_{\mathcal{H}}(C)$ のコホモロジー的解釈を、先行研究におけるコインvariantホモロジーの双対として与えること。

提案手法

• 双対作用素が可逆であるホップ代数 $\mathcal{H}$ とホップコモジュールコボル型 $C$ から、cocylindrical モジュール $C\natural\mathcal{H}$ を構成する。
• 水平的および垂直的構造から誘導される作用素を用いて、$A(n,n) = (C\otimes\mathcal{H})^{\bigotimes(n+1)}$ 上の paracocyclic オブジェクトとしての対角 $\Delta(C\natural\mathcal{H})$ を定義する。
• cocylindrical モジュールに対する Eilenberg-Zilber 定理を適用し、$\Delta(C\natural\mathcal{H})$ と全複体 $Tot^\bullet(C\natural\mathcal{H})$ 間の quasi-isomorphism を得る。これにより、$HC^\bullet(C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H})$ に収束するスペクトル系列が得られる。
• 全複体 $Tot^\bullet$ を部分複体 $\mathsf{F}^i_{pq}$ でフィルター化し、スペクトル系列を定義する。$\mathsf{E}^0$-項は $\mathsf{C}^p(\mathcal{H}, \mathsf{C}^q(C^\natural_{\mathcal{H}}) \boxtimes \mathsf{W})$ で与えられる。
• $\mathsf{E}^1$-項を $\mathcal{H}$-コホモロジーの $\mathsf{C}^q(C^\natural_{\mathcal{H}}) \boxtimes \mathsf{W}$ のコホモロジーとして特定し、$\mathsf{E}^2$-項を $\mathsf{W}$ を係数とする $\mathcal{H}$-コホモロジー群の循環的コホモロジーとして特定する。
• コセミシンプルな $\mathcal{H}$ に対してホモトピー作用素の存在を用いて、$p > 0$ に対して $H^p(\mathcal{H}, M) = 0$ を示し、スペクトル系列が $\mathsf{E}^2$ で収束すること、したがって循環的コホモロジーが同型であることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 交差コプロダクトコボル型 $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ の循環的コホモロジーは、cocylindrical モジュール構造を用いてどのように計算できるか？
• RQ2 $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ の循環的モジュールと $C\natural\mathcal{H}$ の対角との間の関係は何か？
• RQ3 スペクトル系列 $HC^\bullet(C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H})$ を近似する際、$\mathsf{E}^0$、$\mathsf{E}^1$、$\mathsf{E}^2$ 項の解釈は何か？
• RQ4 コインvariantモジュール $\mathsf{C}^\bullet_{\mathcal{H}}(C)$ のコホモロジーは、交差コプロダクトの循環的コホモロジーとどのように関係するか？
• RQ5 スペクトル系列はどのような条件下で収束し、$C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ の循環的コホモロジーにどのような影響を与えるか？

主な発見

• コセミシンプルな $\mathcal{H}$ の場合、交差コプロダクトコボル型 $C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ の循環的コホモロジーは、コインvariantモジュール $\mathsf{C}^\bullet_{\mathcal{H}}(C)$ のものと同型である。
• スペクトル系列の $\mathsf{E}^0$-項は、複体 $\mathsf{C}^p(\mathcal{H}, \mathsf{C}^q(C^\natural_{\mathcal{H}}) \boxtimes \mathsf{W})$ に同型であり、微分は $\boldsymbol{\delta}$ である。
• $\mathsf{E}^1$-項は $H^p(\mathcal{H}, \mathsf{C}^q(C^\natural_{\mathcal{H}}) \boxtimes \mathsf{W})$ で与えられ、微分は $\mathfrak{b} + \mathbf{u}\mathfrak{B}$ である。
• $\mathsf{E}^2$-項は $HC^q(H^p(\mathcal{H}, \mathsf{C}^q(C^\natural_{\mathcal{H}})); \mathsf{W})$ であり、これは $\mathsf{W}$ を係数とする $\mathcal{H}$-コホモロジー群の循環的コホモロジーである。
• コセミシンプルなホップ代数 $\mathcal{H}$ の場合、スペクトル系列は $\mathsf{E}^2$ で収束し、$HC^\bullet(C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}) \simeq HC^\bullet(\mathsf{C}^\bullet_{\mathcal{H}}(C))$ が成り立つ。
• 同じコセミシンプルな条件下で、$C \!>\!\blacktriangleleft\!\mathcal{H}$ のホッジン・コホモロジーも $\mathsf{C}^\bullet_{\mathcal{H}}(C)$ のそれと同型である。