[論文レビュー] Cyclic Cohomology, Quantum group Symmetries and the Local Index Formula for SUq(2)

Alain Connes|ArXiv.org|Sep 12, 2002

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、非可換幾何学を用いて量子群 $SU_q(2)$ の局所インデックス公式を確立し、ChakrabortyとPalが定義したスペクトル三重組が、Connesの一般理論の公理を満たすことを示している。局所循環コサイクルは残留トレースを用いて計算され、次元スペクトルが \{1,2,3\} であることが特定され、チェーン類の差がディーデキンドのエータ関数の対数微分の有理近似における剰余に由来することを示しており、循環コホモロジーにおける局所性および量子群不変性を実証している。

ABSTRACT

We analyse the noncommutative space underlying the quantum group SUq(2) from the spectral point of view which is the basis of noncommutative geometry, and show how the general theory developped in our joint work with H. Moscovici applies to the specific spectral triple defined by Chakraborty and Pal. This provides the pseudo-differential calculus, the Wodzciki-type residue, and the local cyclic cocycle giving the index formula. The cochain whose coboundary is the difference between the original Chern character and the local one is given by the remainders in the rational approximation of the logarithmic derivative of the Dedekind eta function. This specific example allows to illustrate the general notion of locality in NCG. The formulas computing the residue are "local". Locality by stripping all the expressions from irrelevant details makes them computable. The key feature of this spectral triple is its equivariance, i.e. the $SU_q(2)$-symmetry. We shall explain how this leads naturally to the general concept of invariant cyclic cohomology in the framework of quantum group symmetries.

研究の動機と目的

• ConnesとMoscoviciの一般非可換幾何学枠組みを $SU_q(2)$ のスペクトル三重組に適用すること。
• 非自明な量子群例として、$SU_q(2)$ に対して局所インデックス公式を明示的に計算し、理論の妥当性を検証すること。
• スペクトル三重組の次元スペクトルおよび残留トレースを特定し、それが離散的かつ単純であることを示すこと。
• 不要な詳細を除去することで、公式を計算可能にする形で、非可換幾何学における局所性の役割を示すこと。
• 特に $SU_q(2)$ に対して、量子群対称性の下での不変循環コホモロジーの概念を発展させること。

提案手法

• スペクトル三重組 $({\cal A}, {\cal H}, D)$ を用い、$D$ が $SU_q(2)$-作用に関して不変であることを仮定して非可換空間を定義する。
• Wodzciki型の残留およびDixmierトレースを用いて、一般理論の局所インデックス公式を適用し、チェーン類の成分を計算する。
• 次元スペクトルが $\{1,2,3\}$ であることを特定し、zeta関数 $\zeta_b(z) = \operatorname{Trace}(b|D|^{-z})$ の単純な極によって残留トレースが適切に定義されることを保証する。
• 公式 $\int\!\!\!- P = \operatorname{Res}_{z=0} \operatorname{Trace}(P|D|^{-z})$ を用いて局所循環コサイクルを構成し、$\varphi_1$ および $\varphi_3$ の明示的表現を得る。
• グローバルおよび局所チェーン類の差を与えるコチェーンが、ディーデキンドのエータ関数の対数微分の有理近似における剰余に由来することを関連付ける。
• 量子ココスフィアーバンドル $S^*_q$ と、自己同型の1パラメータ族 $\gamma_t$ を導入し、測地線フローを一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Connes-Moscoviciの一般局所インデックス公式は、$SU_q(2)$ の特定のスペクトル三重組にどのように適用されるか？
• RQ2 $SU_q(2)$ のスペクトル三重組の次元スペクトルは何か？ そしてそれは残留トレースの計算にどのように影響を与えるか？
• RQ3 グローバルと局所チェーン類の差は、数論的用語でどのように記述されるか？
• RQ4 量子群対称性は、不変循環コホモロジー類を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ5 非可換幾何学における局所性は、$SU_q(2)$ に対して明示的かつ計算可能な公式としてどのように現れるか？

主な発見

• 量子群 $SU_q(2)$ の次元スペクトルは $\{1,2,3\}$ であり、スペクトル三重組が3次元であることを確認し、局所インデックス公式の適用が可能であることを示している。
• 局所インデックスコサイクルは明示的に計算され、$\varphi_1(a^0,a^1) = \int\!\!\!- a^0[D,a^1]|D|^{-1} - \frac{1}{4}\int\!\!\!- a^0\nabla([D,a^1])|D|^{-3} + \frac{1}{8}\int\!\!\!- a^0\nabla^2([D,a^1])|D|^{-5}$ および $\varphi_3(a^0,a^1,a^2,a^3) = \frac{1}{12}\int\!\!\!- a^0[D,a^1][D,a^2][D,a^3]|D|^{-3}$ である。
• グローバルと局所チェーン類の差を与えるコチェーンは、ディーデキンドのエータ関数の対数微分の有理近似における剰余に由来する。
• 残留トレースは局所的かつ計算可能であり、不要な詳細が除去された公式となっており、非可換幾何学における局所性の強力さを裏付けている。
• スペクトル三重組は $SU_q(2)$ に関して不変であるため、不変循環コホモロジーが定義され、自己同型 $k^2$ を通じて $HC^*_{{\cal U}}({\cal A})$ から $HC^*_{\rm inv}({\cal A}, \theta)$ への準同型 $\rho_\theta$ が導入される。
• 量子ココスフィアーバンドル $S^*_q$ は $D^2_{q+} \times D^2_{q-}$ として特定され、測地線フロー $\gamma_t$ を持つ。