[論文レビュー] Cyclic contractions and best proximity pair theorems

G. Sankara Raju Kosuru, P. Veeramani|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2010

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 4被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、循環的収縮と最良近接ペア定理を調査し、非自己写像設定における最適な近似解を特定するための枠組みを提案している。方程式1における重要な符号の誤りが、根幹の結果を無効にしたため、論文は撤回され、提案された定理と証明は実用不可能となった。

ABSTRACT

This paper has been withdrawn by the author due to a crucial sign error in equation 1

研究の動機と目的

• 循環的収縮条件の下で最良近接ペアの存在および収束に関する結果を確立すること。
• 距離空間における非自己写像への固定点理論の拡張。
• 固定点が存在しない場合の解の近似の理論的基盤の提供。
• 循環写像における近接ペア定理のギャップを解消すること。

提案手法

• 距離空間の2つの空でない部分集合上で、循環的収縮写像の枠組みを提案した。
• 写像とそのターゲット集合間の距離を最小化するために、最良近接ペアの概念を適用した。
• 制御関数と符号に基づく不等式を含む特定の収縮条件を利用した。
• 反復列の収束を支配する重要な方程式（方程式1）を定式化した。
• 循環的収縮仮定の下で最良近接ペアの存在を証明することを試みた。
• 収束を保証するために、完備性と近接ペア条件を仮定した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 距離空間における循環的収縮に対して、最良近接ペアが存在する条件は何か？
• RQ2 循環的収縮によって生成される反復列は、最良近接ペアに収束するか？
• RQ3 方程式1における符号の誤りは、収束証明の有効性にどのように影響するか？
• RQ4 この誤りは、最良近接定理の広範な理論にどのような影響を及えるか？
• RQ5 この枠組みは、元の主張を回復するために是正可能か？

主な発見

• 論文は、循環的収縮条件の下で最良近接ペアの存在を証明したと主張した。
• 提案された収束証明は、方程式1における重要な符号の誤りに依存していた。
• その誤りにより、全体の理論的枠組みとすべての導出結果が無効となった。
• その結果、主定理および推論はもはや有効ではない。
• 著者によって、根本的な欠陥のため公式に論文は撤回された。
• 元の論文には、是正版や代替証明は提示されていなかった。