[論文レビュー] Cyclic covers of the projective line, their jacobians and endomorphisms

Yuri G. Zarhin|ArXiv.org|Aug 16, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$ y^p = f(x) $ で定義される射影直線の巡回被覆のヤコビアンの構造と自己準同型環の性質を調査する。$ f(x) $ が $ n \geq 5 $ 次で、ガロア群が $ \mathbf{S}_n $ または $ \mathbf{A}_n $ であるとき、ヤコビアンの自己準同型環はちょうど $ \mathbf{Z}[ ilde{\delta}_p] \cong \mathbf{Z}[\zeta_p] $ であり、この環は最大可換である。$ p $ がフェルマー素数である場合、自己準同型環は正確に $ \mathbf{Z}[\zeta_p] $ である。

ABSTRACT

We study the endomorphism ring $End(J(C))$ of the complex jacobian $J(C)$ of a curve $y^p=f(x)$ where $p$ is an odd prime and $f(x)$ is a polynomial with complex coefficiens of degree $n>4$ and without multiple roots. Assume that all the coefficients of $f$ lie in a (sub)field $K$ and the Galois group of $f$ over $K$ is either the full symmetric group $S_n$ or the alternating group $A_n$. Then we prove that $End(J(C))$ is the ring of integers in the in the $p$th cyclotomic field, if $p$ is a Fermat prime (e.g., $p=3,5,17,257$). Similar results for $p=2$ (the case of hyperelliptic curves) were obtained by the author in Math. Res. Lett. 7(2000), 123--132.

研究の動機と目的

• 複素数体上の巡回被覆 $ y^p = f(x) $ のヤコビアンの自己準同型環の構造を特定すること。
• 自己準同型環 $ \mathrm{End}(J^{(f,p)}) $ における $ \mathbf{Z}[\delta_p] $ が最大可換部分環であるための条件を確立すること。ここで $ \delta_p $ は $ y \mapsto \zeta_p y $ によって誘導される自己同型である。
• $ p $ がフェルマー素数である場合、自己準同型環が正確に $ \mathbf{Z}[\delta_p] \cong \mathbf{Z}[\zeta_p] $ であることを証明し、このようなヤコビアンの自己積に対するホッジ予想とタート予想を分析すること。
• ガロア群の対称性および $ p $-進タートモジュールが自己準同型代数に与える制約を調査すること。

提案手法

• ガロア理論的技法を用いて、$ \mathrm{Gal}(K) $ がヤコビアンの $ p $- torsion および $ p $-進タートモジュールに作用する様子を分析する。
• 中島の補題を用いて、$ \mathrm{End}(J^{(f,p)}) $ 内の $ \delta_p $ の中心化環の構造を、特に $ \mathbf{Z}_p[\delta_p] $ 内のユニフォーマライザー $ \eta $ を法として調べる。
• $ \eta $ を法としての剰余を用いて、$ \mathrm{Gal}(K) $-加群 $ J^{(f,p)}(\eta) $ を分析する。この加群は、与えられたガロア群の仮定のもとで非常に単純であることが示される。
• 中心単純代数の理論とロザティ対合を用いて、$ \mathbf{Q}(\delta_p) $ の中心化環が $ \mathbf{Q}(\delta_p) $ 自身を越える可能性を除外する。
• $ p = 3 $ の場合にリビットの定理を適用し、重複度 $ n_\sigma $ と $ n_{\bar{\sigma}} $ が互いに素であると、自己積におけるホッジ予想が成立することを示す。
• $ \mathrm{End}^0(J^{(f,p)}) $ が $ \mathbf{Q}(\delta_p) $ 上の中心単純代数であることを確立し、これが $ \mathbf{Q}(\delta_p) $ が最大可換である場合にのみ成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回被覆 $ y^p = f(x) $ に対して、$ \mathbf{Z}[\delta_p] $ が $ \mathrm{End}(J^{(f,p)}) $ の最大可換部分環であるための条件は何か？
• RQ2 このような被覆のヤコビアンの自己準同型環が正確に $ \mathbf{Z}[\delta_p] \cong \mathbf{Z}[\zeta_p] $ であるのはいつか？
• RQ3 $ p = 3 $ のとき、適切なガロア群および次数の条件下で、自己積におけるホッジ予想は成り立つか？
• RQ4 $ K $ が $ \sqrt{-3} $ を含むとき、このようなヤコビアンの自己積におけるタート予想は検証可能か？
• RQ5 $ p $-進タートモジュールおよび $ J^{(f,p)}(\eta) $ 上のガロア作用が、自己準同型代数に与える制約は何か？

主な発見

• $ f(x) \in K[x] $ が $ n \geq 5 $ 次で、ガロア群が $ \mathbf{S}_n $ または $ \mathbf{A}_n $ であるとき、$ \mathbf{Z}[\delta_p] $ は $ \mathrm{End}(J^{(f,p)}) $ の最大可換部分環である。
• $ p $ がフェルマー素数（例：$ p = 3, 5, 17, 257 $）である場合、$ \mathrm{End}(J^{(f,p)}) = \mathbf{Z}[\delta_p] \cong \mathbf{Z}[\zeta_p] $ である。つまり、自己準同型環は円分体の整数環に正確に一致する。
• $ p = 3 $ で $ 3 \nmid n-1 $ のとき、$ J^{(f,3)} $ の各自己積におけるホッジ類は、すべての除集合類の積の線形結合として表される。よって、すべてのこのような自己積においてホッジ予想は成立する。
• $ K $ が $ \sqrt{-3} $ を含む数体であるとき、$ J^{(f,3)} $ の各自己積におけるタート類も、除集合類の積の線形結合として表される。よって、タート予想も成立する。
• 自己準同型代数 $ \mathrm{End}^0(J^{(f,p)}) $ は $ \mathbf{Q}(\delta_p) $ 上の中心単純代数である。この構造は、$ \mathbf{Q}(\delta_p) $ が最大可換である場合にのみ成立し、これが主結果に至る。
• $ \delta_3^* $ が $ H^{1,0}(J^{(f,3)}) $ 上に作用する固有値の重複度 $ n_\sigma $ と $ n_{\bar{\sigma}} $ は、$ 3 \nmid n-1 $ のとき互いに素である。このため、リビットの定理によりホッジ予想が成立することが保証される。