[論文レビュー] Cyclic Homologies of Crossed Modules of Algebras

Гурам Донадзе, Nick Inassaridze+2 more|ArXiv.org|Dec 3, 2008

Rings, Modules, and Algebras参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非単位的結合的代数の交叉モジュールに対してコトリプル循環ホモロジーを構築し、循環ホモロジーとコトリプル循環ホモロジーを比較する長完全ホモロジー列を確立する。これは相対的循環ホモロジー完全列を一般化する。Wodzickiのイグゼルジョン定理を交叉モジュールに拡張し、交叉モジュールのナーヴのホモロジーがスペクトル系列の議論によりコトリプル循環ホモロジーと長完全列をなすことを証明する。

ABSTRACT

The Hochschild and (cotriple) cyclic homologies of crossed modules of (not-necessarily-unital) associative algebras are investigated. Wodzicki's excision theorem is extended for inclusion crossed modules in the category of crossed modules of algebras. The cyclic and cotriple cyclic homologies of crossed modules are compared in terms of long exact homology sequence, generalising the relative cyclic homology exact sequence.

研究の動機と目的

• 非単位的結合的代数の交叉モジュールのカテゴリにおいて、コトリプル循環ホモロジー理論を構築すること。
• 長完全ホモロジー列を用いて、交叉モジュールの循環ホモロジーとそのコトリプル循環ホモロジーを比較すること。
• 相対的循環ホモロジー完全列を交叉モジュールの設定に一般化すること。
• Wodzickiのイグゼルジョン定理を代数の包含交叉モジュールに拡張すること。
• スペクトル系列の議論により、交叉モジュールのナーヴのホモロジーとそのコトリプル循環ホモロジーを結ぶこと。

提案手法

• 著者たちは単体的メソッドを用い、ナーヴ構成を介して交叉モジュールの循環ホモロジーを定義する。
• 彼らはBarr-Beckのコトリプル分解を適用して、交叉代数のカテゴリにおける交叉モジュールの単体的分解を構成する。
• 分解のホッジルドおよび循環チェーン複体からなる双複体構造が形成され、これによりスペクトル系列が得られる。
• スペクトル系列の解析により、E²頁で退化することが示され、全ホモロジーとコトリプル循環ホモロジーとの同型が得られる。
• 半直積代数の非特異性を用いて、特定の増大単体的ベクトル空間の非特異性が確立される。
• 短完全複体系列から導かれるホモロジーの長完全系列から、長完全系列が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非単位的結合的代数の交叉モジュールに対して、コトリプル循環ホモロジーはどのように定義できるか？
• RQ2 交叉モジュールの循環ホモロジーとそのコトリプル循環ホモロジーの関係は何か？
• RQ3 Wodzickiのイグゼルジョン定理は、代数の包含交叉モジュールに拡張可能か？
• RQ4 相対的循環ホモロジー完全列は、交叉モジュールの設定に一般化可能か？
• RQ5 交叉モジュールの循環ホモロジーとコトリプル循環ホモロジーの比較を裏付けるスペクトル系列の構造は何か？

主な発見

• 交叉モジュール (R,A,ρ) のコトリプル循環ホモロジーは、その単体的分解から構成された双複体の全複体のホモロジーと同型である。
• 交叉モジュールの循環ホモロジー、そのコトリプル循環ホモロジー、およびそれらのシフト版との間で、長完全ホモロジー列が確立される。
• 双複体に付随するスペクトル系列はE²頁で退化し、n ≥ 0に対して同型 H_{n+1}(γ(M,R,μ)) ≅ ξHC_n(M,R,μ) が得られる。
• ホッジルドおよび循環ホモロジーのイグゼルジョン定理が、包含交叉モジュールの代数に拡張される。
• 交叉モジュールのナーヴのホモロジーは、そのコトリプル循環ホモロジーと長完全列をなし、古典的な相対的循環ホモロジー完全列を一般化する。
• 基礎となる単体的代数が非特異的であるという仮定の下で、増大単体的ベクトル空間 β_n および γ_n の非特異性が証明される。