[論文レビュー] Cyclic homology of crossed products

Graciela Carboni, Jorge A. Guccione+1 more|ArXiv.org|May 5, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Hopf代数 $H$ とコycle $f$ が与えられたときの交叉積 $E = A\#_f H$ に対して、簡略化された混合複体を用いて、Hochschild、循環的、負、周期的ホモロジーを構成する。既存のスペクトル系列を相対的設定（$H$ が作用する安定部分代数 $K \subseteq A$ を含む）に一般化し、新しい複体が標準複体とホモトピー同値であることを証明することで、$E$ の相対的循環的ホモロジーへ収束する2つのスペクトル系列を得た。この手法は摂動論および相対的ホモロジー代数の結果に依拠し、非可換幾何学およびHopf代数コホモロジー分野における先行研究を拡張する。

ABSTRACT

We obtain a mixed complex, simpler that the canonical one, given the Hochschild, cyclic, negative and periodic homology of a crossed product E=A#fH, where H is an arbitrary Hopf algebra and f is a convolution invertible cocycle with values in A. Actually, we work in the more general context of relative cyclic homology. Specifically, we consider a subalgebra K of A which is stable under the action of H, and we find a mixed complex computing the Hochschild, cyclic, negative and periodic homology of E relative to K. As an application we obtain two spectral sequences converging to the cyclic homology of E relative to K. The first one in the general setting and the second one (which generalizes those previously found by several authors) when f takes its values in K.

研究の動機と目的

• 交叉積 $E = A\#_f H$ のHochschild、循環的、負、周期的ホモロジーを計算するためのより単純な混合複体の構築を目的とする。
• $H$ の作用に関して安定である部分代数 $K \subseteq A$ が存在する相対的設定に計算を拡張し、非可換商代数への影響を明らかにすること。
• スモーズ積の循環的ホモロジーに対する既存のスペクトル系列を、非自明なコycleを有する交叉積の状況に一般化すること。
• 新しい複体と標準混合複体との間のホモトピー同値性を確立し、正しさと計算可能性を保証すること。
• $f$ が $K$ の値をとる場合に適用可能な枠組みを提供し、[K-R] および [A-K] の結果を回復・拡張すること。

提案手法

• $f$ がコンボリューション可逆であると仮定しないで、$K$-代数 $E = A\#_f H$ に対する混合複体 $(\widehat{X}, \widehat{d}, \widehat{D})$ を構成する。
• $f$ がコンボリューション可逆である場合に、[G-G] の結果と摂動補題を用いて複体を簡略化する。
• $f$ がコンボリューション可逆である条件の下で、$\widehat{X}$ と同型であるより単純な混合複体 $(\overline{X}, \overline{d}, \overline{D})$ を定義する。
• Hopf交叉積における弱作用およびコycleのねじれ構造を活用し、微分およびConnesの作用素を定義する。
• 相対的ホモロジー代数の技法を用いて $K$ に関するホモロジーを計算し、Morita不変性および非可換商構造を保持する。
• 2つのスペクトル系列を導出する：一般設定におけるものと、$f$ が $K$ の値をとる場合のもので、両方とも $E$ の相対的循環的ホモロジーへ収束する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hochschild、循環的、負、周期的ホモロジーを計算するためのより単純な混合複体を、交叉積 $E = A\#_f H$ に対して構築可能か？
• RQ2 $H$ が作用する安定部分代数 $K \subseteq A$ が存在する相対的設定に計算を拡張するにはどうすればよいか？ その非可換商代数への影響は何か？
• RQ3 新しい混合複体が標準複体とホモトピー同値である条件は何か？
• RQ4 この手法は、$f$ が $K$ の値をとる場合に、既存のスモーズ積の循環的ホモロジーに対するスペクトル系列を回復または一般化できるか？
• RQ5 コンボリューション可逆性が、混合複体の簡略化およびスペクトル系列の構成に果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、$f$ がコンボリューション可逆である場合に、標準化された正規混合複体と同型である混合複体 $(\overline{X}, \overline{d}, \overline{D})$ を構築し、$E = A\#_f H$ の正しいHochschild、循環的、負、周期的ホモロジーを計算できることを保証する。
• 複体 $\widehat{X}$ は $f$ がコンボリューション可逆である必要がないため、より広範な文脈に適用可能である。
• $f$ がコンボリューション可逆である場合、$\widehat{X}$ はより単純な複体 $\overline{X}$ と同型であり、これが主な計算ツールとなる。
• 2つのスペクトル系列が構成された：一般設定におけるものと、$f$ が $K$ の値をとる場合に既存の結果を一般化するもので、両方とも $E$ の相対的循環的ホモロジーへ収束する。
• この手法は標準複体とホモトピー同値であるため、ホモロジー計算への適用が正当化される。
• 結果は、[A-K]、[K-R]、[G-J] の先行研究のスペクトル系列を一般化・統合し、特に非自明なコycleおよび非分離的基底代数の状況において有効である。