[論文レビュー] Cyclic homology of Hopf Galois extensions and Hopf algebras

Pascual Jara, Dragoş Ştefan|ArXiv.org|Jul 8, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、ホップ代数 H 上のモジュラー交叉モジュールの新しい圏を用いて、ホップ・ガロア拡大およびホップ代数のための巡回ホモロジー理論を構築する。各モジュール M に対して、標準的巡回ホモロジーと相対的巡回ホモロジーを一般化する巡回的対象 Z*(H,M) を構成する。主な結果として、K がココメルタティブで、M が中心的一次元部分コモジュールの直和に分解する場合の誘導モジュール Ind_K^H M の巡回ホモロジーが計算可能であり、これにより群代数や量子トーラスの明示的計算が可能になる。

ABSTRACT

Let H be a Hopf algebra. By definition a modular crossed H-module is a vector space M on which H acts and coacts in a compatible way. To every modular crossed H-module M we associate a cyclic object Z(H,M). The cyclic homology of Z(H,M) extends the usual cyclic homology of the algebra structure of H, and the relative cyclic homology of an H-Galois extension. For a Hopf subalgebra K we compute, under some assumptions, the cyclic homology of an induced modular crossed module. As a direct application of this computation, we describe the relative cyclic homology of strongly graded algebras. In particular, we calculate the (usual) cyclic homology of group algebras and quantum tori. Finally, when H is the enveloping algebra of a Lie algebra, we construct a spectral sequence that converges to the cyclic homology of H with coefficients in an arbitrary modular crossed module. We also show that the cyclic homology of almost symmetric algebras is isomorphic to the cyclic homology of H with coefficients in a certain modular crossed-module.

研究の動機と目的

• モジュラー交叉モジュールに基づく新しい枠組みを導入することで、ホップ代数、群代数、量子トーラスの巡回ホモロジー計算を統一的かつ一般化すること。
• 特に商 A/[A,B] のような相対的設定への巡回ホモロジー理論の拡張を、ホップ・ガロア拡大を介して行うこと。
• U(g)-モジュールの巡回ホモロジーを計算するスペクトル系列を確立し、それをリー代数ホモロジーと関連づけ、既知のほぼ対称代数に関する結果を拡張すること。
• K がココメルタティブで、M が一様次元中心部分コモジュールの直和に分解する場合の誘導モジュール Ind_K^H M の巡回ホモロジーを体系的に計算する方法を提供すること。
• ほぼ対称代数と U_f(g) が U(g)-ガロア拡大として現れることを示し、一般理論を適用してそれらの巡回ホモロジーを計算できることを示すこと。

提案手法

• ホップ代数 H 上のモジュラー交叉モジュールの圏 CM_m(H) を定義し、左 H-加群構造と右 H-コモジュール構造の間の2つの整合性条件に基づく。
• CM_m(H) 内の各 M に対して、標準的巡回ホモロジー（M = ad H のとき）および H-ガロア拡大の相対的巡回ホモロジー（M = A_B のとき）を一般化する巡回的対象 Z*(H,M) を定義する。
• ホップ部分代数 K ⊂ H に対して、誘導関手 Ind_K^H M = H ⊗_K M を構成し、CM_m(H) 内の構造を備えることでホモロジー計算を可能にする。
• K がココメルタティブで、M が一様次元部分コモジュールに分解し、中心的群的要素を持つ場合に HC*(Ind_K^H M) を、テンソル積への分解を用いて計算する。
• 強く階層的な代数に適用し、適切な条件下でそれらの相対的巡回ホモロジーが HC*(H, Ind_K^H M) に同型であることを示す。
• 任意の U(g)-モジュール M に対して、HC_*(M) に収束するスペクトル系列 E^2_{p,q} = H_{p+q-2i}(g, F_pM/F_{p-1}M) ⇒ HC_*(M) を構成し、リー代数ホモロジーと巡回ホモロジーを関連づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー交叉モジュールの圏を用いて、ホップ・ガロア拡大の巡回ホモロジーをどのように一般化できるか？
• RQ2 K がココメルタティブで、M が一様次元中心部分コモジュールの直和に分解する場合、誘導モジュール Ind_K^H M の巡回ホモロジーは何か？
• RQ3 この新しい枠組みを用いて、群代数や量子トーラスの巡回ホモロジーを計算できるか？
• RQ4 U(g)-モジュールの巡回ホモロジーは、スペクトル系列を通じてリー代数ホモロジーとどのように関係するか？
• RQ5 ほぼ対称代数と U_f(g) は、どの程度 U(g)-ガロア拡大として現れ、それにより巡回ホモロジーの計算が可能になるか？

主な発見

• K がココメルタティブで、M が中心的群的要素を持つ一様次元部分コモジュールの直和に分解する場合、Ind_K^H M の巡回ホモロジーが明示的に計算可能であり、各成分に対して HC*(Ind_K^H M) ≅ ⊕_i HC*(K, M_i) ⊗ HC*(K) が成り立つ。
• 強く階層的な代数の相対的巡回ホモロジーは、対応する誘導モジュールの巡回ホモロジーと同型であり、主結果を用いて直接計算可能である。
• 特徴標数 0 の体上の群代数の巡回ホモロジーは、特別な場合として回復され、バーゲレの結果と整合的である。
• 量子トーラスの巡回ホモロジーは理論を用いて計算され、対応する群代数の巡回ホモロジーと同型であることが示された。
• 任意の U(g)-モジュール M に対して、HC_*(M) に収束するスペクトル系列が構成され、E^2_{p,q} = ⊕_i H_{p+q-2i}(g, F_pM/F_{p-1}M) である。これはカッセルの結果を一般化する。
• ほぼ対称代数が k 上の U(g)-ガロア拡大であることが示され、その巡回ホモロジーは HC_*(U(g), U_f(g)) と同型である。これは既知の結果をより広い代数のクラスへと拡張する。