[論文レビュー] Cyclic homology, Serre's local factors and the $\lambda$-operations

Alain Connes, Caterina Consani|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、数体 $K$ 上の滑らかで射影的な代数多様体 $X$ の複素 $L$-関数のセールのアーキメデス的局所因子を、正則化された $λ$-作用素の行列式として実現するためのコhomological枠組みを確立する。その中心的結果は、$θ$ が $λ$-作用素を生成するとして、$HC^{\rm ar}_*(X_\nu)$ の偶数次元および奇数次元成分に作用する $\frac{1}{2\pi}(s - \Theta)$ の正則化された行列式の比が、アーキメデス的因子の積に一致することを示している。この理論は、$τ$-twisted な周期的循環ホモロジーと、$\mathbb{A}_\infty = \prod_{\nu|\infty} K_\nu$ 係数の循環ホモロジーを用いて構築され、モチーフと非可換幾何学を統合する。

ABSTRACT

We show that for a smooth, projective variety X defined over a number field K, cyclic homology with coefficients in the ring of infinite adeles of K, provides the right theory to obtain, using the lambda-operations, Serre's archimedean local factors of the complex L-function of X as regularized determinants.

研究の動機と目的

• 数体 $K$ 上の滑らかで射影的な代数多様体 $X$ の複素 $L$-関数のセールのアーキメデス的局所因子を捉えるコhomological理論を構成すること。
• 奇数ホッジ重量におけるデンジャーゲンのアーキメデス的コホモロジーと実デリーニュコホモロジーの不一致を解消するため、新しい無限次元コホモロジー理論を導入すること。
• $HC_*$ 上の $\lambda$-作用素が、作用素 $\Theta$ を通じてアーキメデス的因子を正則化された行列式として与えることを示すこと。
• アーキメデス的循環ホモロジー $HC^{\rm ar}_*(X_\nu)$ を定義し、その性質を研究することで、アーキメデス的コホモロジーの概念的置き換えを実現すること。

提案手法

• 複素多様体 $X_\nu = X \times_K K_\nu$ に対して、周期的循環ホモロジーの実数的ねじれ版として、アーキメデス的循環ホモロジー $HC^{\rm ar}_*(X_\nu)$ を定義する。
• $HC_*(X_\nu)$ 上への $k^\Theta$ の作用を、$k \in \mathbb{N}^\times$ に対して $k^\Theta|_{HC_n(X_\nu)} = \Lambda(k) k^{-n}$ とし、循環ホモロジー上の $\lambda$-作用素 $\Lambda(k)$ を用いて定義する。
• $(p,q)$ 型微分形式を用いて、$HP_*(X_\mathbb{C})$ および $HP_*(C^\infty(X_{\rm sm}, \mathbb{C}))$ の周期的循環ホモロジーを構成する。
• 実構造と複素構造を関係付けるために、$\tau: PC_{{\rm real},\lambda}^*(X_\mathbb{C}) \to PC^*(X_\mathbb{C})$ を導入する。
• Weil制限と関手 $X \mapsto {}_*X$ を用い、$\pi_X: {\rm Spec}(\mathcal{O}(X_{\rm sm})) \to X$ を通じて滑らかな多様体をアフィンスキームと関係付ける。
• $HC^{\rm ar}_*(X_\nu)$ の偶数部および奇数部に作用する作用素 $\frac{1}{2\pi}(s - \Theta)$ に対して、正則化された行列式 $\det_\infty$ を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数が $\mathbb{A}_\infty$ の循環ホモロジーは、数体上の滑らかで射影的な代数多様体 $X$ の $L$-関数のセールのアーキメデス的局所因子をコホモロジー的実現として与えるか。
• RQ2 $HC_*$ 上の $\lambda$-作用素は、完成 $L$-関数におけるガンマ因子とどのように関係するか。
• RQ3 デンジャーゲンの提案したアーキメデス的コホモロジーが、奇数ホッジ重量において実デリーニュコホモロジーと一致しない理由は何か。また、その不一致はどのように解消できるか。
• RQ4 $\Theta$ 作用素が正則化された行列式を通じてアーキメデス的因子を生成する役割を果たす理由は何か。
• RQ5 アーキメデス的循環ホモロジー $HC^{\rm ar}_*(X_\nu)$ は、アーキメデス的因子の無限次元性とモチーフの代数的構造をどのように統合するか。

主な発見

• 多様体 $X$ のセールのアーキメデス的局所因子の積は、$HC^{\rm ar}_*(X_\nu)$ の偶数次元および奇数次元成分に作用する $\frac{1}{2\pi}(s - \Theta)$ の正則化された行列式の比として与えられる。
• $\Theta$ は $HC_n(X_\nu)$ 上で $k^\Theta = \Lambda(k) k^{-n}$ ($k \in \mathbb{N}^\times$) として作用し、$\Lambda(k)$ は循環ホモロジー上の $\lambda$-作用素である。
• アーキメデス的循環ホモロジー $HC^{\rm ar}_*(X_\nu)$ は無限次元であり、奇数ホッジ重量における実デリーニュコホモロジーとの不一致を解消する概念的置き換えを提供する。
• すべてのアーキメデス的場所にわたる積構造と整合的であり、$HC^{\rm ar}_*(X_\nu)$ ($\nu|\infty$) は $\mathbb{A}_\infty = \prod_{\nu|\infty} K_\nu$ 上で定義されている。
• $\pi_X: {\rm Spec}(\mathcal{O}(X_{\rm sm})) \to X$ は連続であり、局域的に環を持つ空間の準同型を誘導し、Weil制限の構成により $X_{\rm sm}$ の滑らかさが回復される。
• 滑らかな多様体 $V$ 上の直和写像 $m_*({\mathcal{O}}_{V_{\rm aff}})$ は、滑らかな関数の層 ${\mathcal{O}}_{V_{\rm sm}}$ に同型であり、これは滑らかさがアフィンスキーム $V_{\rm aff} = {\rm Spec}(C^\infty(V, \mathbb{C}))$ から回復されることを示している。