[論文レビュー] Cyclic operads and homology of graph complexes

Martin Markl|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、循環的オペラッドに関連するグラフ複体のホモロジーに、普遍的なコhomology類を導入し、Kontsevichの $A_\infty$-代数の不変量の構成を統一的に一般化するとともに、任意の循環的オペラッドへと拡張する。オペラッドと理論（k線型PROPs）の双対性を活用することで、具体的な循環的代数への特殊化によって不変量を評価する、標準的なサイクルを構成し、状態和モデルを一般化するとともに、循環ホモロジーにおける無限小変形の役割を明確にする。

ABSTRACT

We will consider P-graph complexes, where P is a cyclic operad. P-graph complexes are natural generalizations of Kontsevich's graph complexes -- for P = the operad for associative algebras it is the complex of ribbon graphs, for P = the operad for commutative associative algebras, the complex of all graphs. We construct a `universal class' in the cohomology of the graph complex with coefficients in a theory. The Kontsevich-type invariant is then an evaluation, on a concrete cyclic algebra, of this class. We also explain some results of M. Penkava and A. Schwarz on the construction of an invariant from a cyclic deformation of a cyclic algebra. Our constructions are illustrated by a `toy model' of tree complexes.

研究の動機と目的

• Kontsevich型の不変量を、循環的 $A_\infty$-代数から構成する概念的で普遍的な枠組みを提供すること。
• アソシエイティブおよび可換代数に限らない、任意の循環的オペラッドへのグラフ複体の一般化。
• 循環的代数の無限小変形が、コホモロジー類を生成する役割を明確にすること。
• 理論的枠組みを用いて、状態和不変量を普遍的クラスによって統一すること。

提案手法

• 循環的オペラッド $\mathcal{P}$ からグラフ複体 $\mathcal{G}^\mathcal{P}_*$ を構成し、Kontsevichのリボングラフ複体を一般化する。
• オペラッド $\mathcal{P}$ とその双対理論 $\mathbf{T}$ の双対性を用いて、グラフ複体のホモロジーにおける普遍的サイクルを構成する。
• モジュラーオペラッドのフェインマン変換を用いてグラフ複体をモデル化し、構成を循環的およびモジュラーな設定へと拡張する。
• 普遍的クラスが $\mathcal{P}$ からのカラーリングと双対理論 $\mathbf{T}$ からの係数を組み合わせる、状態和型の構成を適用する。
• 双対コオペラッドの代数を記述するため、コバーバルコンストラクション $\Omega(\mathcal{P}^\star)$ を用い、変形の研究を可能にする。
• スカラー積 $h$ 及びその逆 $\nu$ を用いて循環的代数を定義し、入力の巡回置換に関して不変性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kontsevichの $A_\infty$-代数の不変量の構成を、任意の循環的オペラッドへどのように一般化できるか。
• RQ2 特殊化によってすべてのこのような不変量を生成する、普遍的コホモロジー類とは何か。
• RQ3 循環的代数の無限小変形は、グラフ複体のコホモロジー類とどのように関係するか。
• RQ4 オペラッドと理論（k線型PROPs）の双対性が、これらの不変量の構成において果たす役割は何か。
• RQ5 フェインマン変換を用いて、この構成をモジュラーオペラッドへ拡張できるか。

主な発見

• 任意の循環的オペラッド $\mathcal{P}$ に関連するグラフ複体に、普遍的コホモロジー類が存在し、特殊化によってすべての不変量が生成される。
• 普遍的クラスは、$\mathcal{P}$ からのカラーリングと双対理論 $\mathbf{T}$ からの係数の双対ペアの和として構成され、$V^\star \otimes V$ の標準的要素に類似している。
• Koszulオペラッドの場合、バーバルコンストラクションとコバーバルコンストラクションの双対性を用いて、普遍的サイクルを明示的に記述できる。
• Koszulな循環的オペラッド上の循環的代数の無限小変形は、$t^2$ を法とする理論の写像に正確に対応し、普遍的クラスの評価が可能になる。
• PenkavaとSchwarzの不変量は、循環的代数の場合における普遍的クラスの特殊化として説明できる。
• 循環的代数の理論は、オペラッド上では代数的ではないが、自然に $\mathbf{k}$-線型PROP上の代数の圏として記述され、双対係数系の定義に用いられる。