[論文レビュー] Cyclic p-roots of prime lengths p and related complex Hadamard matrices

Uffe Haagerup|ArXiv.org|Mar 18, 2008

graph theory and CDMA systems参考文献 9被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、任意の素数 $ p $ に対して、$ \mathbb{C}^p $ 内の巡回 $ p $-根の重複度を含めた個数が、ちょうど $ \binom{2p-2}{p-1} $ に等しいことを証明している。この結果は、フーリエ変換と乗法的逆元を含む方程式系の解と巡回 $ p $-根の間の対応関係を用いて得られ、複素解析および代数幾何学の道具、特にチェボタレフの定理と正則写像の重複度理論が用いられている。

ABSTRACT

In this paper it is proved, that for every prime number p, the set of cyclic p-roots in C^p is finite. Moreover the number of cyclic p-roots counted with multiplicity is equal to (2p-2)!/(p-1)!^2. In particular, the number of complex circulant Hadamard matrices of size p, with diagonal entries equal to 1, is less or equal to (2p-2)!/(p-1)!^2.

研究の動機と目的

• 素数 $ p $ に対する巡回 $ p $-根の個数（重複度を含む）が $ \binom{2p-2}{p-1} $ に等しいという、ラルフ・フローベルグの予想を解決すること。
• 巡回 $ p $-根と、フーリエ変換と乗法的逆元を含む $ 2p-2 $ 個の式からなる方程式系の解との間の一対一対応を確立すること。
• フーリエ行列の部分行列の非特異性に関するチェボタレフの定理を用いて、素数 $ p $ に対する巡回 $ p $-根の有限性を示すこと。
• 適切な正則写像の重複度理論を適用し、重複度付きの解の個数を線形代数的計算に還元すること。
• サイズ $ p $ の複素巡回ヘルミート行列で対角成分が 1 であるものの個数が $ \binom{2p-2}{p-1} $ 以下であることを示すこと。

提案手法

• 巡回 $ p $-根と、$ x, y \in \mathbb{C}^p $ で $ x_0 = y_0 = 1 $ を満たすものについて、$ 1 \leq j \leq p-1 $ の範囲で $ x_j y_j = 1 $、$ \hat{x}_j \hat{y}_{-j} = 1 $ を満たす方程式系の解との間の全単射対応を確立すること。
• チェボタレフの1926年の定理を用いて、$ p $ が素数のとき、$ p \times p $ フーリエ行列のすべての正方部分行列が非特異であることを示し、解集合の有限性を保証すること。
• 適切な正則写像の孤立した零点の重複度理論を適用し、重複度付きの解の個数を線形化された系の解の個数に等しくすること。
• 数え上げ問題を、$ x_j y_j = 0 $、$ \hat{x}_j \hat{y}_{-j} = 0 $ という線形方程式系の解の個数に還元し、その解はちょうど $ \binom{2p-2}{p-1} $ 個であり、それぞれ重複度1であることを示すこと。
• フーリエに基づく方程式系から元の巡回 $ p $-根系への変換において、重複度が保存されることを証明し、個数の正確性を保証すること。
• アフィン変換と正則写像の部分多様体への制限を用いて、制限写像 $ \sigma_E $ の重複度が $ \binom{2k}{k} $ に等しいことを示し、これはインデックスの部分集合への一般化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数 $ p $ に対する巡回 $ p $-根の個数（重複度を含む）は、$ \binom{2p-2}{p-1} $ に等しいか？
• RQ2 フーリエ行列の部分行列の非特異性から、素数 $ p $ に対する巡回 $ p $-根の有限性が導かれるか？
• RQ3 巡回 $ p $-根系の解の重複度は、方程式の線形化されたバージョンを用いて計算可能か？
• RQ4 巡回 $ p $-根と、$ x_j y_j = 1 $、$ \hat{x}_j \hat{y}_{-j} = 1 $ を満たすフーリエ逆変換系の解との間には一対一対応があるか？
• RQ5 サイズ $ p $ の複素巡回ヘルミート行列で対角成分が 1 であるものの最大個数は何か？ そして、これは巡回 $ p $-根の個数とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の素数 $ p $ に対して、$ \mathbb{C}^p $ 内の巡回 $ p $-根の個数（重複度を含む）は、ちょうど $ \binom{2p-2}{p-1} $ に等しく、フローベルグの予想が裏付けられた。
• すべての素数 $ p $ に対して、巡回 $ p $-根の集合は有限である。これは、フーリエ行列の部分行列の非特異性に関するチェボタレフの定理から導かれた結果である。
• 対角成分が 1 であるサイズ $ p $ の複素巡回ヘルミート行列の個数は、$ \binom{2p-2}{p-1} $ 以下である。これは、巡回 $ p $-根との一対一対応から生じる。
• 巡回 $ p $-根系の解の重複度は、フーリエに基づく方程式系への変換においても保存され、線形代数的計算による個数の数え上げが可能になる。
• 方程式系 $ x_j y_j = 0 $、$ \hat{x}_j \hat{y}_{-j} = 0 $ は、ちょうど $ \binom{2p-2}{p-1} $ 個の解を持ち、すべて重複度1である。これは、主な数え上げの根幹をなす。
• サイズ $ k $ のインデックスの部分集合に対して、単純インデックス $ k $ の巡回 $ p $-根の個数（重複度を含む）は $ \binom{2k}{k} $ に等しく、これは主結果の一般化である。