[論文レビュー] Cyclic random motions with orthogonal directions

Enzo Orsingher, Roberto Garra+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2019

advanced mathematical theories参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$Ω^2$ および $Ω^3$ における直交方向をとる循環的確率的運動を研究し、粒子の位置に関する明示的な条件付きおよび周辺確率分布を導出する。運動方程式が D’Alembert作用素の積として記述され、指数変換により Klein-Gordon 方程式に還元可能であり、極限において無限小分散 $1/d$ の熱方程式に収束することが示され、解は修正ベッセル関数を用いて表現され、正規化によって係数が決定される。

ABSTRACT

A cyclic random motion at finite velocity with orthogonal directions is considered in the plane and in $\mathbb{R}^3$. We obtain in both cases the explicit conditional distributions of the position of the moving particle when the number of switches of directions is fixed. The explicit unconditional distributions are also obtained and are expressed in terms of Bessel functions. The governing equations are derived and given as products of D'Alembert operators. The limiting form of the equations is provided in the Euclidean space $\mathbb{R}^d$ and takes the form of a heat equation with infinitesimal variance $1/d$.

研究の動機と目的

• $Ω^2$ および $Ω^3$ における直交方向をとる循環的確率的運動の位置に関する明示的な条件付きおよび周辺確率分布を導出すること。
• 位置分布の支配的偏微分方程式を特徴づけ、それが $2d$ 階の D’Alembert作用素の積であることを示すこと。
• 解が正規化によって決定される係数を伴う修正ベッセル関数の微分の和の形をとることを確立すること。
• 方程式の極限的挙動を分析し、$\lambda, c \to \infty$ かつ $c^2/\lambda \to 1$ の下で熱方程式 $\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{2d}\Delta p$ に収束することを示すこと。

提案手法

• $\mathbb{R}^d$ における運動について、$2d$ 階の支配方程式を $\prod_{i=1}^{d}\left[\left(\frac{\partial}{\partial t}+\lambda\right)^2 - c^2\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}\right]p - \lambda^{2d}p = 0$ として導出する。
• 指数変換 $p = e^{-\lambda t}w$ を適用して、Klein-Gordon型の形に方程式を簡略化する。
• 解を $p(u,t) = e^{-\lambda t}\sum_{i=0}^{d}A_i\frac{\partial^i}{\partial t^i}I_0\left(\frac{\lambda}{c}\sqrt{c^2t^2 - u^2}\right)$ の形で表現する。ここで $I_0$ は第一種変形ベッセル関数を表す。
• 正規化条件 $\int_0^{ct} p(u,t) du = 1 - \sum_{k=0}^{d-1} \frac{(λ t)^k}{k!}e^{-\u03bb t}$ を満たすように係数 $A_i$ を決定する。
• 同次的立体（$\mathbb{R}^2$ では正方形、$\mathbb{R}^3$ では八面体）における分布の構造を分析し、外側のシェル上で一様性が成立することを示す。
• スケーリング $c^2/\lambda \to 1$ の下で、支配方程式が熱方程式 $\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{2d}\Delta p$ に漸近的に収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{R}^2$ および $\mathbb{R}^3$ における直交方向をとる循環的確率的運動を行う粒子の位置の明示的な条件付きおよび周辺分布は何か？
• RQ2 $\mathbb{R}^d$ における位置分布の支配的偏微分方程式は、D’Alembert作用素およびKlein-Gordon作用素とどのように関係しているか？
• RQ3 $\lambda, c \to \infty$ かつ $c^2/\lambda \to 1$ の極限において、支配方程式の挙動はどのように振る舞うか？
• RQ4 解の展開における係数 $A_i$ は、分布の正規化を保証するためにどのように決定されるか？
• RQ5 $\mathbb{R}^d$ における条件付き分布と、1次元における折り返しトレーラー過程との関係は何か？

主な発見

• $\mathbb{R}^d$ における周辺分布は、$p(u,t) = e^{-\lambda t}\sum_{i=0}^{d}A_i\frac{\partial^i}{\partial t^i}I_0\left(\frac{\lambda}{c}\sqrt{c^2t^2 - u^2}\right)$ で与えられ、係数 $A_i$ は正規化から導出される。
• $\mathbb{R}^2$ では、外側の正方形 $S^2_{ct}$ に相似な正方形上で分布が一様であり、絶対連続成分は $z = \pm x \pm y$、$0 \leq z \leq ct$ の上に支持される。
• $\mathbb{R}^3$ では、外側の八面体 $S^3_{ct}$ に相似な八面体上で分布が一様であり、$N(t)=2k+1$ もしくは $2k+2$ の条件下での $\mathcal{U}(t)$ の条件付き密度が明示的に導出される。
• $\mathbb{R}^3$ において $N(t)=2k+1$ の条件下での $\mathcal{U}(t)$ の条件付き分布は、$\Pr\{\mathcal{U}(t)\in du|N(t)=2k+1\} = \frac{(2k+1)!}{2^{2k}(ct)^{2k+1}(k-1)!(k+1)!}(c^2t^2 - u^2)^{k-1}(c^2t^2 + u^2)du$、$k \geq 1$ である。
• $\mathbb{R}^3$ において $N(t)=2k+2$ の条件下での $\mathcal{U}(t)$ の条件付き分布は、$\Pr\{\mathcal{U}(t)\in du|N(t)=2k+2\} = \frac{(2k+2)!}{(k+2)!(k-1)!}\frac{(c^2t^2 - u^2)^{k-1}}{(2ct)^{2k+1}}(c^2t^2 + 3u^2)du$、$k \geq 1$ である。
• 支配方程式は、$\lambda, c \to \infty$ かつ $c^2/\lambda \to 1$ の極限において、熱方程式 $\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{2d}\Delta p$ に収束し、無限小分散 $1/d$ をとる。