[論文レビュー] Cyclic tridiagonal pairs, higher order Onsager algebras and orthogonal polynomials

Pascal Baseilhac, Azat M. Gainutdinov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 38被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、三重対角およびレオナード対の一般化である循環的三重対角対——位数Nの固有空間上で作用する作用素が循環的である——を導入する。作用素は、qが原始的2N乗根であるときのq-オンサージャー代数の部分代数として、高次元のオンサージャー代数を生成する「分割多項式」を定義する。この枠組みは、レオナード双対性を超えた直交多項式理論を拡張し、N=2（q=i）においてドンクラフトシフト作用素による明示的実現がなされる。

ABSTRACT

The concept of cyclic tridiagonal pairs is introduced, and explicit examples are given. For a fairly general class of cyclic tridiagonal pairs with cyclicity N, we associate a pair of `divided polynomials'. The properties of this pair generalize the ones of tridiagonal pairs of Racah type. The algebra generated by the pair of divided polynomials is identified as a higher-order generalization of the Onsager algebra. It can be viewed as a subalgebra of the q-Onsager algebra for a proper specialization at q the primitive 2Nth root of unity. Orthogonal polynomials beyond the Leonard duality are revisited in light of this framework. In particular, certain second-order Dunkl shift operators provide a realization of the divided polynomials at N=2 or q=i.

研究の動機と目的

• 位数Nの固有空間上で作用する作用素が循環的であるような、三重対角およびレオナード対の一般化として、循環的三重対角対を導入すること。
• このような対に関連する新しい作用素クラス「分割多項式」を定義し、三重対角代数の構造を一般化すること。
• これらの分割多項式が生成する代数が、オンサージャー代数の高次元一般化であることを同定すること。
• この新しい代数的枠組みに埋め込むことで、レオナード双対性を超えた直交多項式理論を拡張すること。
• 明示的な行列実現と、特にN=2およびq=iにおけるq-オンサージャー代数との関係を提供すること。

提案手法

• 有限次元ベクトル空間V上の2つの線形作用素CとC∗を用いて、Z^N-次数構造における循環的性質を有する三重対角対を定義する。このとき、各作用素は他方の固有空間上で三重対角的に作用する。
• 循環的作用に基づく多項式作用素としての「分割多項式」を導入し、一般化された交換関係を満たす。
• これらの分割多項式が生成する代数が、qが原始的2N乗根であるとき、q-オンサージャー代数の部分代数と同型であることを示す。
• 明示的な行列実現（例えば付録に記載）を用いて、三重対角対を構成する。たとえばN=3の場合、(C^2)^⊗3上で作用するW0とW1を用いる。
• 表現論的技法とスペクトル解析を用いて、完全性と循環性を検証し、真の不変部分空間が存在しないことを保証する。
• N=2（q=i）において、分割多項式を2階のドンクラフトシフト作用素を用いて実現し、既知の直交多項式系と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固有空間の位数Nにわたる循環的作用を含むように、三重対角対をどのように一般化できるか？
• RQ2 このような循環的三重対角対に関連する分割多項式から生じる代数的構造は何か？
• RQ3 この構成は、特に単位根におけるq-オンサージャー代数とどのように関係するか？
• RQ4 レオナード双対性を超える直交多項式を、この枠組みに体系的に埋め込むことは可能か？
• RQ5 ドンクラフトシフト作用素は、N=2における分割多項式の実現において、どのように機能するか？

主な発見

• 作用素CとC∗がZ^N-循環的構造において固有空間上で三重対角的に作用し、不変部分空間を有さない、循環的三重対角対が定義される。
• このような対に関連する分割多項式は、オンサージャー代数の高次元一般化である代数を生成する。
• qが原始的2N乗根であるとき、この代数はq-オンサージャー代数の部分代数として実現され、N=3において明示的な同型が確認されている。
• N=2の場合、分割多項式は2階のドンクラフトシフト作用素を用いて実現され、q=iの特殊化と関連している。
• 明示的な行列実現が構成され、たとえばN=3において(C^2)^⊗3上でW0とW1が次元2, 3, 3の3つの固有空間を循環的に作用させる。
• 分割多項式は定理4.3および定理4.4の関係を満たし、パラメータを特殊化した際の係数はβ = -2に一致する。