[論文レビュー] Cyclotomic double affine Hecke algebras (with an appendix by Hiraku Nakajima and Daisuke Yamakawa)

Alexander BRAVERMAN, Pavel Etingof+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 50被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、l ≥ 3 の場合に非晶質的であるため、部分的に球面的で部分的巡回的有理チャレルニク代数の q-変形として、巡回的双有理的ヒッブ代数（DAHA）を導入する。4通りの同等な記述が与えられる：生成元と関係式による記述、微分反射作用素による記述、退化DAHA部分代数による記述、および等置ホモロジーによる記述。主な貢献は、乗法的クイバー多様体およびボウ多様体としての、多重的クイバーおよびボウ多様体の量子化としての巡回的DAHAの構成であり、これらはフレームドクイバーゲージ理論のK理論的クーロンブランチとして同定される。さらに、q-変形された準不変関数空間およびそのねじれ版の平坦性の証明がなされる。

ABSTRACT

We show that the partially spherical cyclotomic rational Cherednik algebra (obtained from the full rational Cherednik algebra by averaging out the cyclotomic part of the underlying reflection group) has four other descriptions: (1) as a subalgebra of the degenerate DAHA of type A given by generators; (2) as an algebra given by generators and relations; (3) as an algebra of differential-reflection operators preserving some spaces of functions; (4) as equivariant Borel-Moore homology of a certain variety. Also, we define a new $q$-deformation of this algebra, which we call cyclotomic DAHA. Namely, we give a $q$-deformation of each of the above four descriptions of the partially spherical rational Cherednik algebra, replacing differential operators with difference operators, degenerate DAHA with DAHA, and homology with K-theory, and show that they give the same algebra. In addition, we show that spherical cyclotomic DAHA are quantizations of certain multiplicative quiver and bow varieties, which may be interpreted as K-theoretic Coulomb branches of a framed quiver gauge theory. Finally, we apply cyclotomic DAHA to prove new flatness results for various kinds of spaces of $q$-deformed quasiinvariants. In the appendix by H. Nakajima and D. Yamakawa (added in version 2), the authors explain the relations between multiplicative bow varieties and (various versions of) multiplicative quiver varieties for a cyclic quiver.

研究の動機と目的

• 部分的に球面的で巡回的な有理チャレルニク代数のq-変形を定義し、それがl ≥ 3のとき非晶質的であるにもかかわらず、複数の同等な記述を用いて構成すること。
• 特定の多様体R(N,l)の等置K理論を用いた巡回的DAHAの幾何的実現を確立し、退化ケースにおけるBorel-Mooreホモロジーへの拡張を行うこと。
• q=1における球面的巡回的DAHAが、次元ベクトル(N,…,N)を持つ巡回クイバーに関連する乗法的クイバー多様体の座標環と同型であることを示し、この多様体の量子化として実現すること。
• 巡回的DAHAの代数的および幾何的構造を活用して、q-変形された準不変関数空間およびねじれ版の平坦性を、対称多項式の代数上での平坦性として証明すること。

提案手法

• GLNのチャレルニクのDAHAの部分代数として巡回的DAHAを定義し、特定の要素によって生成されることを示し、ある関数空間を保存することを示す。
• 生成元と関係式による巡回的DAHAの記述を提示することで、基底の構成と平坦性の証明を可能にする。
• 退化した巡回的DAHAを多様体R(N,l)の等置Borel-Mooreホモロジーとして実現し、そのq-変形版を同様の多様体の等置K理論として実現する。
• 幾何的実現を用いて、q=1における球面的巡回的DAHAが、長さlの巡回クイバーに関連する乗法的クイバー多様体の座標環と同型であることを証明する。
• アフィンA型のフレームドクイバーゲージ理論のK理論的クーロンブランチの幾何的モデルを構築し、それが乗法的ボウ多様体と同型であることを示す。
• 巡回的DAHAの代数的および幾何的構造を応用し、準不変関数空間およびねじれ準不変関数空間のq-変形が、対称多項式の代数上での平坦性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非晶質的反射群を有する部分的に球面的で巡回的な有理チャレルニク代数のq-変形を構成することは可能か？
• RQ2 退化ケースにおけるBorel-Mooreホモロジーに類似した、等置K理論を用いた巡回的DAHAの幾何的実現は存在するか？
• RQ3 q=1における球面的巡回的DAHAは、乗法的クイバー多様体の座標環と同型であり、したがってこの多様体の量子化として実現可能か？
• RQ4 q-変形された準不変関数空間およびそのねじれ版は、対称多項式の代数上での平坦性を保つのか？
• RQ5 乗法的クイバー多様体およびボウ多様体は、アフィンA型のフレームドクイバーゲージ理論のK理論的クーロンブランチと同型であるか？

主な発見

• 巡回的DAHAは、4通りの同等な記述を用いて、部分的に球面的で巡回的な有理チャレルニク代数のq-変形として構成される：生成元と関係式、DAHAの部分代数、関数空間の保存、多様体R(N,l)の等置K理論。
• 球面的巡回的DAHA eHH^l_N(Z,1,t)e は可換であり、次元ベクトル(N,…,N)を持つ巡回クイバーに関連する乗法的クイバー多様体の座標環と同型であるため、この多様体の量子化として実現される。
• 一般パラメータの場合、球面的巡回的DAHAは乗法的クイバー多様体上のAzumaya代数であり、その次数はN! に等しく、HH^l_N(Z,1,t)e はその中心上のCohen-Macaulay加群である。
• tが単位根でない場合、eHH^l_N(Z,1,t)e は整閉かつCohen-Macaulayなドメインであり、HH^l_N(Z,1,t) の中心と同型である。
• ねじれ準不変関数空間のq-変形は、対称多項式の代数上での平坦性を示し、標準的準不変関数の既知の平坦性結果を拡張する。
• 乗法的クイバー多様体M×_γ(v,w) は、コバランスド次元ベクトルを持つ乗法的ボウ多様体と同型であり、この同型は準ハミルトニアン構造と整合的である。これは、K理論的クーロンブランチが乗法的クイバー多様体と同型であるという予想を支持する。