[論文レビュー] Cyclotomy, difference sets, sequences with low correlation, strongly regular graphs, and related geometric substructures

Koji Momihara, Qi Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 35被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有限体における巡回クラスを通じて構築された組合せ的・幾何的構造について包括的なサーベイを提供する。差集合、自己相関が低い系列、および強い正則なカーレイグラフを焦点とする。巡回クラスの和集合は、特定のパラメータを持つ強い正則グラフをもたらす二重交差集合を生成し、これは古典的極空間における $m$-オーバルと $i$-タイト集合と関連している。

ABSTRACT

In this paper, we survey constructions of and nonexistence results on combinatorial/geometric structures which arise from unions of cyclotomic classes of finite fields. In particular, we survey both classical and recent results on difference sets related to cyclotomy, and cyclotomic constructions of sequences with low correlation. We also give an extensive survey of recent results on constructions of strongly regular Cayley graphs and related geometric substructures such as $m$-ovoids and $i$-tight sets in classical polar spaces.

研究の動機と目的

• 有限体における巡回クラスの和集合から導かれる組合せ的構造に関する古典的および最近の結果を体系化し、サーベイすること。
• 巡回構成と差集合、低相関系列、強い正則なカーレイグラフなどの主要な対象との関係を明確にすること。
• 巡回的特徴和および射影的二重交差集合を用いて、古典的極空間における $m$-オーバルと $i$-タイト集合の理論を統一すること。
• 巡回差集合構成に関する非存在結果と未解決問題の包括的概要を提供すること。
• 特に有限幾何学およびデザイン理論の文脈において、巡回的構造の擬似乱数的・準ランダム的性質を強調すること。

提案手法

• 原始根 $\gamma$ を用いて定義される $N$ 階巡回クラス $C_i^{(N,q)}$ の理論を用い、有限体 $\mathbb{F}_q$ の乗法群 $\mathbb{F}_q^*$ をコセットに分割する。
• 部分集合 $D \subseteq \mathbb{Z}/v\mathbb{Z}$ の特性系列を用いて、差集合と二値系列の二段階自己相関との関係を確立する。
• 極空間 $S$ のベクトル空間 $V$ 上で、$D$ が巡回クラスの和集合から得られる場合に、カーレイグラフ構成 $\mathrm{Cay}(V,D)$ を適用する。
• 超平面との交差性の性質を用いて、$m$-オーバルと $i$-タイト集合の正確なサイズ公式とパラメータ条件を導出する。
• 有限幾何学と特徴和理論の結果を適用し、$m$-オーバルと $i$-タイト集合が、周囲の射影空間における射影的二重交差集合をもたらすことを示す。
• 部分的な逆命題を確立する：特定の交差サイズを持つ射影的二重交差集合であれば、それが極空間における $m$-オーバルまたは $i$-タイト集合として生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 $\mathbb{F}_q^*$ 内のどの巡回クラスの和集合が差集合を生成するか。その構成の必要十分条件は何か。
• RQ2 巡回クラスはどのようにして自己相関が低い系列を生成するか。既知のパラメータの上限と構成は何か。
• RQ3 古典的極空間内の点集合が、巡回構成によって $m$-オーバルまたは $i$-タイト集合となるための条件は何か。
• RQ4 極空間における $m$-オーバルと $i$-タイト集合は、負のラテン平方型またはラテン平方型パラメータを持つ強い正則なカーレイグラフとどのように関係するか。
• RQ5 巡回差集合に関する既知の非存在結果は何か。また、$C_0^{(N,q)}$ が差集合であるという長年の予想とどのように関連しているか。

主な発見

• $q \equiv 3 \pmod{4}$ のとき、$C_0^{(2,q)}$ を用いたペイリー差集合の構成は、$(q, \frac{q-1}{2}, \frac{q-3}{4})$ 差集合の古典的例である。
• 二値自己相関が二段階である巡回的構成は、アーベル差集合に正確に対応し、遅れ 0 では自己相関値が $v$、それ以外では $v - 4(k - \lambda)$ となる。
• 極空間 $S$（例：$\mathsf{H}(2r,q^2)$、$\mathsf{Q}^-(2r-1,q)$、$\mathsf{W}(2r-1,q)$）における $m$-オーバルは、負のラテン平方型パラメータ $(u^2, s(u+1), -u + s^2 + 3s, s^2 + s)$ を持つ強い正則カーレイグラフを生成する。ここで $u = q^{2r+1}$、$s = m(q^2 - 1)$ などである。
• 極空間 $S$ 内の $i$-タイト集合は、ラテン平方型パラメータ $(u^2, s(u-1), u + s^2 - 3s, s^2 - s)$ を持つ強い正則カーレイグラフを生成する。ここで $u = q^{2r}$、$s = i$ などである。
• 定理 4.20 と 4.22 は、$m$-オーバルと $i$-タイト集合が周囲の射影空間における射影的二重交差集合であることを確立し、対応するカーレイグラフの幾何的特徴付けを可能にする。
• 定理 4.20 と 4.22 の部分的な逆命題が存在する：特定の交差サイズを持つ射影的二重交差集合であれば、それは $m$-オーバルまたは $i$-タイト集合でなければならない。これにより、このような対象を構成的に得る道筋が提供される。