[論文レビュー] Cylindrical Combinatorics and Representations of Cherednik Algebras of type A

Takeshi Suzuki|ArXiv.org|Sep 30, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、A型の有理および三角関数的Cherednik代数の表現論を研究するために、周期的（シリンダ型）のスキュー図を用いた組合せ的枠組みを構築する。同論文では、これらの図形上に標準テーブルauxおよび平面分割を定義し、Kostka多項式を含む母関数を計算するとともに、『テーブルアクス表現』として組合せ的に不変表現を構成し、非退化 affine Hecke代数およびその中心を介して、新たなキャラクター公式とスペクトル分解を導出する。

ABSTRACT

We investigate the representation theory of the rational and trigonometric Cherednik algebra of type $GL_n$ by means of combinatorics on periodic (or cylindrical) skew diagrams. We introduce and study standard tableaux and plane partitions on periodic diagrams, and in particular, compute some generating functions concerning plane partitions, where Kostka polynomials and their level restricted generalization appear. On representation side, we study representations of Cherednik algebras which admit weight decomposition with respect to a certain commutative subalgebra. All the irreducible representations of this class are constructed combinatorially through standard tableaux on periodic diagrams, and this realization as "tableaux representations" provides a new combinatorial approach to the investigation of these representations. As consequences, we describe the decomposition of a tableaux representation as a representation of the degenerate affine Hecke algebra, which is a subalgebra of the Cherednik algebra, and also describe the spectral decomposition of the spherical subspace (the invariant subspace under the action of the Weyl group) of a tableaux representation with respect to the center of the degenerate affine Hecke algebra, In particular, the computation of the character of the spherical subspace is reduced to the computation of the generating function for the set of column strict plane partitions, and we obtain an expression of the characters in terms of Kostka polynomials as announced in math.QA/0508274.

研究の動機と目的

• 周期的（シリンダ型）スキュー図を用いて、A型の有理および三角関数的Cherednik代数の表現論に対する組合せ的枠組みを確立すること。
• シリンダ型図形上での標準テーブルauxおよび平面分割を定義・研究し、それらを不変表現のモデルとして用いること。
• Kostka多項式およびそのレベル制限付き一般化を符号化する平面分割の母関数を計算すること。
• 周期的図形上の組合せ的構成を用いて、Cherednik代数の不変表現を『テーブルアクス表現』として実現すること。
• 非退化 affine Hecke代数の下でのテーブルアクス表現の分解およびその球面部分空間のスペクトル分解を記述すること。

提案手法

• Z × F 上の格子作用によって定義される周期性を持つ、周期的（シリンダ型）スキュー図を、スキューYoung図の一般化として導入する。
• これらのシリンダ型図形上に、標準テーブルauxおよび列厳密な平面分割を定義し、拡張されたアフィンWeyl群作用に基づく重みおよび内容の割り当てを実施する。
• Z 上の拡張されたアフィンWeyl群作用を用いて周期的構造を定義し、移動および反射を含む生成子を含む。
• 標準テーブルauxにベクトルを割り当て、組合せ的規則によって代数作用を定義することで、Cherednik代数の『テーブルアクス表現』を構成する。
• 非退化 affine Hecke代数を部分代数として用い、特に重み分解およびスペクトル分解を介して、テーブルアクス表現の分解を研究する。
• 球面部分空間のキャラクター計算を、列厳密な平面分割の母関数に還元し、Kostka多項式と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的スキュー図は、A型Cherednik代数の表現論をどのようにモデル化できるか？
• RQ2 シリンダ型図形上の列厳密な平面分割の母関数は何か？ そして、Kostka多項式とどのように関係するか？
• RQ3 周期的図形上の標準テーブルauxを用いて、Cherednik代数の不変表現を組合せ的に構成できるか？
• RQ4 非退化 affine Hecke代数の中心の下で、テーブルアクス表現の球面部分空間はどのように分解されるか？
• RQ5 Cherednik代数の可換部分代数に関して、ある表現がOカテゴリーに属するための条件は何か？

主な発見

• 周期的図形上の列厳密な平面分割の母関数は $ \left(\frac{1 - q^r}{1 - q}\right)^{n-1} $ で与えられ、Kostka多項式の母関数と一致する。
• 重み分解を持つCherednik代数の不変表現は、周期的図形上の標準テーブルauxを用いた組合せ的構成により『テーブルアクス表現』として実現される。
• テーブルアクス表現を非退化 affine Hecke代数の加群として分解する際、その分解はテーブルアクスの組合せ論を用いて明示的に記述できる。
• テーブルアクス表現の球面部分空間のスペクトル分解は、非退化 affine Hecke代数の中心を介して計算され、キャラクターはKostka多項式の形で表現される。
• 重み分解を持つ不変モジュールの分類がなされ、このようなモジュールがOカテゴリーに属するための必要十分条件は、最高重量がパrameter $ \kappa = s/r $ を含む特定の整性条件を満たすことである。
• $ \kappa \in \mathbb{Q}_{\geq 0} $ のとき、$ s - m - \lambda_1 + \lambda_m \in \mathbb{Z}_{<0} $ であると、関数 $ F_\zeta $ に特定の中間重量が存在しないことから、表現 $ \mathcal{L}_\kappa(\lambda) $ はOカテゴリーに属さないことが示される。