[論文レビュー] Cylindrically Symmetric Solitons with Nonlinear Self-Gravitating Scalar Fields

К. А. Бронников, Г. Н. Шикин|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2001

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非線形スカラー＝アインシュタイン重力における静的で円対称なソリトンの研究を行い、任意のポテンシャル関数 $V(\varphi)$ に対して四重積分を用いて正確な解を導出する。ソリトン的解が存在するのは $V(\varphi)$ が符号を変える場合に限ることを証明し、楕円関数で表されるソリトン解を提示。非自明な平坦空間極限は、積分定数の特定の $\ae$-依存性を要する。

ABSTRACT

Static, cylindrically symmetric solutions to nonlinear scalar-Einstein equations are considered. Regularity conditions on the symmetry axis and flat or string asymptotic conditions are formulated in order to select soliton-like solutions. Some non-existence theorems are proved, in particular, theorems asserting (i) the absence of black-hole and wormhole-like cylindrically symmetric solutions for any static scalar fields minimally coupled to gravity and (ii) the absence of solutions with a regular axis for scalar fields with the Lagrangian $L=F(I)$, $I=ϕ^αϕ_α$, for any function $F(I)$ possessing a correct weak field limit. Exact solutions for scalar fields with an arbitrary potential function $V(ϕ)$ are obtained by quadratures and are expressed in a parametric form in a few ways, where the parameter may be either the coordinate $x$, or the $ϕ$ field, or one of the metric coefficients. Soliton-like solutions are shown to exist only with $V(ϕ)$ having a variable sign. Some explicit examples of solutions (including a soliton-like one) and their flat-space limit are discussed.}

研究の動機と目的

• 円対称時空において、正則で局所化され、自己重力を有するスカラー場の配置（ソリトン的解）が存在する条件を特定すること。
• 自己重力を伴うスカラー場に対して、ソリトン的解の存在と構造を特定すること、特に自己重力の文脈において。
• 四重積分法およびパラメータ表示を用いて、任意のポテンシャル関数 $V(\varphi)$ に対して正確な解を導出すること。
• 自己重力的解の平坦空間極限を明確にすること。これは自動的ではなく、積分定数が重力定数 $\ae$ に特定の依存性を示す必要があることを示す。

提案手法

• 対称軸での正則性条件と、漸近的に平坦またはストリング型の境界条件を定式化し、ソリトン的解を選別する。
• 存在しないことの定理を証明：最小結合スカラー場に対しては、ブラックホールやウォームホールの類似解は存在せず、$I = \varphi^\alpha \varphi_\alpha$ の形のラグランジアン $L = F(I)$ に対しては、正則な軸上解は存在しない。
• 四つのパラメータ化スキーム（$\alpha(x)$、$V(\alpha)$、$\varphi(\alpha)$、$\alpha(\varphi)$ を指定）を用いて、四重積分により正確な解を導出する。
• 時空計量のアンサッツ $ds^2 = e^{2\gamma}dt^2 - e^{2\alpha}dx^2 - e^{2\xi}dz^2 - e^{2\beta}d\phi^2$ を用い、$\alpha, \beta, \gamma, \xi$ を $x$ の関数とし、平坦空間極限で $\alpha = x$ となる座標条件を適用する。
• 場の運動方程式を積分により解き、特に $\cosh$-ベースのアンサッツにおける $n=1$ の場合に楕円積分を含むパラメトリック解が得られる。
• 平坦空間極限を解析する際、$\ae \to 0$ のとき $V(\varphi) \to \lambda \varphi^{2n}$ とし、整合性を保つために定数に課される条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、円対称時空において正則で局所化され、自己重力を有するスカラー場配置が存在できるか？
• RQ2 なぜラグランジアン $L = F(I)$、$I = \varphi^\alpha \varphi_\alpha$ を持つスカラー場は、対称軸上で正則解を有しないのか？
• RQ3 任意のポテンシャル関数 $V(\varphi)$ を持つスカラー場に対して、ソリトン的解が存在可能か？また、$V(\varphi)$ が満たすべき符号の性質は何か？
• RQ4 自己重力的解の正しい平坦空間極限は何か？また、その極限が現れるための積分定数の条件は何か？
• RQ5 時空およびスカラー場の異なるパラメータ化を用いて、四重積分による正確な解を体系的に構成する方法は何か？

主な発見

• ソリトン的解は、$V(\varphi)$ が符号を変える場合にのみ存在し、正定値または符号が一定のポテンシャルに対しては、非存在定理により証明されている。
• 非線形性の形に関わらず、最小結合スカラー場に対しては、円対称なブラックホールまたはウォームホール的解は存在しない。
• 楕円関数で表されるソリトン的解が明示的に構成され、$\alpha \to \infty$ のとき $\varphi \sim e^{-\alpha}$ となり、$\alpha \to -\infty$ のとき $\varphi$ が有限の極限に近づく。すべての正則性条件を満たす。
• 自己重力的解の平坦空間極限は、非自明な $\ae$-依存性を有する積分定数を要する：$\ae \to 0$ のとき $\varphi_1 \to 0$ かつ $\varphi_0 \sqrt{3\ae C/2} \to n$ となる。
• ポテンシャル $V(\varphi) = \lambda \varphi_0^{2n} \left\{ \sqrt{C} \sin\left[ \frac{1}{n} \sqrt{\frac{3\ae}{2}} (\varphi - \varphi_1) \right] \right\}^{2n}$ の場合、$\ae \to 0$ の極限でソリトン解はシン＝ゴルドン形式に還元される。
• パラメトリック解として、$\varphi$ は第一種楕円積分を用いて表される：$\varphi = \frac{2}{\sqrt{3\ae}} \left( \frac{A}{A+1} \right)^{1/4} F\left( \arcsin \sqrt{ \frac{4B}{e^{2\alpha} + 2A + 2B} }, \sqrt{ \frac{A+B}{2B} } \right)$ ただし $B = \sqrt{A(A+1)}$。