[論文レビュー] D=4 Einstein gravity from higher D CS and BI gravity and an alternative to dimensional reduction

Horaƫiu Năstase|ArXiv.org|Mar 5, 2007

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、4次元のアインシュタイン重力にトポロジカル項を組み込んだ理論（ボーン＝インフェルト重力）を、奇数次元の高次元のチャーン＝サイモンズ（CS）重力へ埋め込む、重力の新しい次元削減機構を提案する。特に5次元および11次元を想定している。ビエルバイン・スピン接続形式を用いて重力を定式化し、降下型削減の一般化を適用することで、5次元CS重力から自然に4次元アインシュタイン重力にトポロジカル項が導かれることが示された。これは、ウィッテンの3次元CSアプローチに類似した、量子的4次元重力の定式化への可能性を示唆する。

ABSTRACT

An alternative to usual dimensional reduction for gravity is analyzed, in the vielbein-spin connection formulation. Usual 4d Einstein gravity plus a topological term (the "Born-Infeld" Lagrangian for gravity), is shown to be obtained by a generalized dimensional reduction from 5d Chern-Simons gravity. Chern-Simons gravity in d=2n+1 is dimensionally reduced to CS gravity in d=2n-1 via a mechanism similar to descent equations. The consistency of the dimensional reduction in both cases is analyzed. The dimensional reduction of d=2n+2 Born-Infeld gravity to d=2n BI gravity, as well as d=2n BI gravity to d=2n-1 CS gravity is hard to achieve. Thus 4d gravity (plus a topological term) can be embedded into d=2n+1 CS gravity, including 11d CS, whose supersymmetric version could possibly be related to usual 11d supergravity. This raises the hope that maybe 4d quantum Einstein gravity could be embedded in a well defined quantum theory, similar to Witten's treatment of 3d quantum Einstein gravity as a CS theory.

研究の動機と目的

• 重力の標準的次元削減とは異なる代替手法を、特にビエルバイン・スピン接続形式において開発すること。
• 5次元チャーン＝サイモンズ重力から、トポロジカル項を含む4次元アインシュタイン重力（ボーン＝インフェルト重力）が一般化された次元削減機構によって導かれるかどうかを示すこと。
• 高次元のトポロジカル理論（CSおよびBI重力）を低次元に削減する一貫性と実現可能性を検討すること。特に、d=2n+2 BI から d=2n BI および d=2n BI から d=2n-1 CS への削減を対象とする。
• 4次元量子重力が、11次元CS重力のような明確な高次元トポロジカル量子理論に埋め込まれる可能性を調査すること。
• この構成を11次元スーパーグラビティおよびOSp(1|32)×OSp(1|32)ゲージ群と結びつけ、M理論への可能性の接続を示唆すること。

提案手法

• アインシュタイン＝ヒルベルト作用をポincare群のゲージ理論に類似した形で扱うために、ビエルバインとスピン接続を用いて重力を定式化する。
• 降下方程式にインspiredされた一般化された次元削減手順を適用し、d=2n+1のチャーン＝サイモンズ重力を、中間のd=2nトポロジカル理論を経てd=2n-1 CS重力に削減する。
• 特定の削減アンザッツを導入する：スピン接続の余剰次元成分を定数に設定する、ω_{2n+1}^{2n+1,2n+2} = c とすることで、5次元CS重力を4次元ボーン＝インフェルト重力に削減する。
• 削減の整合性を検証するため、削減された作用の微分が下位次元の作用を再現するかを確認する。特にBI重力に対して検証する。
• 中間のd=2n理論に対して、(2n-2,2)の符号型を採用し、SO(2n-2,2)ゲージ群を持つ純粋なスピン接続理論として解釈可能であることを示す。
• 4次元ボーン＝インフェルト重力を11次元チャーン＝サイモンズ重力（SO(10,2)ゲージ群）に埋め込む可能性を検討し、λ→0極限における群収縮によって11次元スーパーグラビティと関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5次元チャーン＝サイモンズ重力から、幾何的コンパクト化に依存しない非幾何的次元削減を用いて、4次元アインシュタイン重力にトポロジカル項を含む理論を一貫して導出できるか？
• RQ2 d=2n+1 CS重力をd=2n-1 CS重力に削減できる一般化された次元削減機構は存在するか？幾何的コンパクト化に依存しないか？
• RQ3 d=2n+2 ボーン＝インフェルト重力をd=2n BI重力に削減できるか？もしそうなら、どのような条件下で可能か？
• RQ4 d=2n+1 CS重力をd=2n-1 CS重力に削減する過程で得られる中間のd=2n理論は、一貫したトポロジカル的またはゲージ理論的解釈を持つのか？
• RQ5 4次元ボーン＝インフェルト重力を11次元CS重力のような高次元トポロジカル理論に埋め込むことは、4次元アインシュタイン重力の量子的定式化の枠組みを提供する可能性を秘めているか？

主な発見

• 幾何的コンパクト化に依存しない一般化された次元削減を用いることで、5次元チャーン＝サイモンズ重力から4次元アインシュタイン重力にトポロジカル項を含む理論（ボーン＝インフェルト重力）を導出可能である。
• この削減機構は降下方程式に類似しており、d=2n+1 CS重力を中間のd=2nトポロジカル理論を経てd=2n-1 CS重力に削減することが可能である。
• d=2n+2 BI重力からd=2n BI重力への削減は直ちには実現せず、作用およびゲージ群の縮約に関する特定の条件を満たす必要があるが、現在の構成ではこれらが完全に満たされていない。
• d=2n+1 CS重力をd=2n-1 CS重力に削減する過程で得られる中間のd=2n理論は、SO(2n-2,2)ゲージ群を持つトポロジカル理論であり、(2n-2,2)符号型において純粋なスピン接続理論として解釈可能である。
• 4次元ボーン＝インフェルト理論は、SO(10,2)ゲージ群を持つ11次元チャーン＝サイモンズ重力に埋め込むことができ、11次元スーパーグラビティおよびM理論への可能性への接続を示唆する。
• λ→0極限において、11次元チャーン＝サイモンズスーパーグラビティのOSp(1|32)×OSp(1|32)ゲージ群はd’Auria-Fré群に収縮し、標準的な11次元スーパーグラビティが回復する。