[論文レビュー] Décomposition monomorphe des structures relationnelles et profil de classes héréditaires

Djamila Oudrar, Maurice Pouzet|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2014

semigroups and automata theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限の順序付き関係的構造の族のプロファイル成長を分析するための構造的道具として単型的分解を導入する。このような族に有限の単型的分解が存在しない場合、そのプロファイルは少なくとも指数関数的になることが証明され、2006年におけるBalrog、Bollobás、およびMorrisによる順序付きグラフに関する結果と整合的であり、プロファイル成長率の分類における重要なケースを解決する。

ABSTRACT

We present a structural approach of some results about jumps in the behavior of the profile (alias generating function) of hereditary classes of finite structures. We start with the following notion due to N.Thiéry and the second author. A \emph{monomorphic decomposition} of a relational structure $R$ is a partition of its domain $V(R)$ into a family of sets $(V_x)_{x\in X}$ such that the restrictions of $R$ to two finite subsets $A$ and $A'$ of $V(R)$ are isomorphic provided that the traces $A\cap V_x$ and $A'\cap V_x$ have the same size for each $x\in X$. Let $\mathscr S_μ$ be the class of relational structures of signature $μ$ which do not have a finite monomorphic decomposition. We show that if a hereditary subclass $\mathscr D$ of $\mathscr S_μ$ is made of ordered relational structures then it contains a finite subset $\mathfrak A$ such that every member of $\mathscr D$ embeds some member of $\mathfrak A$. Furthermore, for each $R\in \mathfrak A$ the profile of the age $\mathcal A(R)$ of $R$ (made of finite substructures of $R$) is at least exponential. We deduce that if the profile of a hereditary class of finite ordered structures is not bounded by a polynomial then it is at least exponential. This result is a part of classification obtained by Balogh, Bollobás and Morris (2006) for ordered graphs. {\it To cite this article: Djamila Oudrar, Maurice Pouzet, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I.}

研究の動機と目的

• 有限の関係的構造の族のプロファイル成長におけるジャンプの構造的起源を理解すること。
• 単型的分解が、プロファイルが多項式的に有界であるか指数関数的に増加するかを決定する役割を調査すること。
• 特に順序付き構造の文脈において、非多項式的プロファイル成長を示す最小の遺伝的族を特徴づけること。
• 有限の単型的分解の不在と順序付き関係的システムにおける指数関数的プロファイル成長との間の関係を確立すること。
• 有限の符号号を持つより広範な順序付き関係的構造族へと、順序付きグラフからの構造的知見を拡張すること。

提案手法

• 単型的分解を、関係的構造の定義域を部分集合に分割し、各部分集合との交差のサイズにのみ依存して有限部分構造の同型型が決まるように定義する。
• 有限集合に制限された部分構造の同型に基づいて、要素間のk同値および≤k同値関係を導入する。
• Fraïsséの定理を用いて最小の遺伝的族を関係的構造の年齢として表現し、その極限構造を用いた分析を可能にする。
• 無限の単型的成分が存在する場合、Ramsey理論的議論を用いて等価性の挙動が制御された無限配置を抽出する。
• 既知の再構成に関する結果（例えばLopez、Ille）を活用し、完全な単型的分解を決定するのに必要なk同値類の数を制限する。
• 十分に大きな構造において、≤k同値と完全な単型的同値が等価であることを示し、特に二項および順序付き設定において有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の順序付き関係的構造の遺伝的族のプロファイルが多項式的に有界であるか、それより速く成長するかを決定する構造的条件は何か？
• RQ2 有限の単型的分解の存在または不在は、プロファイル成長率にどのように関係するか？
• RQ3 非多項式的プロファイル成長を示す最小の遺伝的族は、その年齢および単型的分解の性質によって特徴づけられるか？
• RQ4 順序付き関係的構造において、プロファイル成長が多項式から指数関数的へと遷移する正確な閾値は何か？
• RQ5 既知の順序付きグラフに関する結果は、有限符号号を持つより一般的な順序付き関係的構造族へどの程度拡張可能か？

主な発見

• 有限の順序付き関係的構造の遺伝的族のプロファイルが多項式的に有界であることは、その族に属するすべての構造が有限の単型的分解を持つことに同値である。
• 順序付き関係的構造の遺伝的族に有限の単型的分解が存在しない場合、そのプロファイルは少なくとも指数関数的になる。
• 非多項式的プロファイル成長を示す最小の遺伝的族に属する任意の構造Rについて、Rの年齢のプロファイルは少なくとも指数関数的である。
• 有限の単型的分解の不在は、次第に複雑化する等価性の挙動を示す無限の要素の族の存在を意味し、これが指数関数的プロファイル成長を引き起こす。
• 順序付き構造では、関係のアリティに応じた有限のkに対して≤k同値が完全な単型的同値を決定する。特に二項関係ではk=2で十分である。
• 指数関数的プロファイル成長を示す最小の族は、無限の単型的成分をもつ構造の年齢であるものに限られ、このような構造は少なくとも指数関数的プロファイルをもつ有限部分構造を埋め込む必要がある。