[論文レビュー] $d$-dimensional Lüscher's formula and the near-threshold three-body states in a finite volume

Shangguo Zhu, Shina Tan|arXiv (Cornell University)|May 13, 2019

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$d$次元の有限体積に一般化されたルシュラーの公式を提示し、2体散乱の$s$波および$p$波近似を導出する。$s$波共鳴状態では、$d \geq 5$ の場合、エネルギーが $\pm 1/L^{d/2}$ のようにスケーリングする2つの準位が、解析的に同定される。$d=4$ の場合、エネルギーは $\pm 1/(L^2\sqrt{\ln L})$ のようにスケーリングする。この結果は、高次元の有限体積系における三体共鳴状態、特にエフギモの三体分子の研究に役立つフレームワークを提供する。

ABSTRACT

We study two particles colliding in a $d$-dimensional finite volume and generalize Lüscher's formula to arbitrary $d$ spatial dimensions. We obtain the $s$- and $p$-wave approximations of the generalized Lüscher's formula. For resonant $s$- or $p$-wave interactions, we analytically determine the energies of the low-lying states at large box size $L$. At $s$-wave resonance, we discover two low-lying states with nearly opposite energies, which are proportional to $\pm 1/L^{d/2}$ for $d\ge 5$, or $\pm 1/L^{2}\sqrt{\ln L}$ for $d=4$. This provides important insights into the near-threshold states of three bosons at a three-body resonance in a 2- or higher-dimensional finite volume.

研究の動機と目的

• 有限体積における2体散乱のルシュラーの公式を、任意の空間次元数$d$に一般化すること。
• 周期的境界条件を満たす$d$次元空間における$s$波および$p$波近似の量子化条件を導出すること。
• 大きなボックスサイズ$L$における共鳴状態の$s$波および$p$波散乱の低エネルギー状態のエネルギー準位を解析的に決定すること。
• 2次元または3次元の有限体積シミュレーションにおいて、三体共鳴状態にあるエフギモの三体分子のような三体系を研究するための理論的フレームワークを提供すること。
• 高次元有限体積量子系における近閾値状態の体積依存性を確立すること。

提案手法

• すべての$d$次元に適用可能な、運動量空間における擬似波動関数を用いて問題を定式化し、相互作用範囲を超えて散乱波動関数を解析接続する。
• フーリエ変換を用いて運動量空間の波動関数を実空間に戻し直すことで、離散的運動量の格子和の自然な正則化が可能になる。
• 超球面調和関数および$d$次元におけるベッセル関数を用いて、$d$次元のルシュラーの公式とその$s$波および$p$波近似を導出する。
• $d$次元における位相シフトの有効範囲展開を用いて、低エネルギー散乱および共鳴行動を分析する。
• 共鳴状態の$s$波および$p$波散乱に量子化条件を適用し、$L$が大きい極限におけるエネルギー準位を求める。
• 得られたエネルギー式の漸近的解析により、近閾値状態の主要な体積依存性を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的境界条件を満たす有限体積ボックス内において、任意の空間次元数$d$におけるルシュラーの公式はどのように一般化されるか？
• RQ2 $d \geq 4$ の場合、$s$波共鳴状態における有限体積内での低エネルギー2体状態のエネルギー準位シフトは何か？
• RQ3 2次元または3次元の有限体積において、3つのボソンが三体共鳴状態にあるとき、近閾値の三体状態の体積依存性は何か？
• RQ4 $d$次元における$s$波および$p$波散乱位相シフトは、有限ボックス内でのエネルギー準位の量子化にどのように影響を与えるか？
• RQ5 一般化されたルシュラーの公式は、高次元における$s$波共鳴状態で近閾値に近い2つの状態の存在とエネルギースケーリングを予測できるか？

主な発見

• $d \geq 5$ 次元における$s$波共鳴状態では、大きなボックスサイズ$L$において、エネルギーが$\pm 1/L^{d/2}$に比例する2つの低エネルギー状態が出現する。
• $d=4$ 次元では、2つの近閾値状態のエネルギーは、大きな$L$において$\pm 1/(L^2\sqrt{\ln L})$に比例する。
• $d=3$ 次元では、三体共鳴によって生じる近閾値状態のエネルギーは$1/L^3$に比例し、$s$波の予測と整合する。
• $d=2$ 次元では、三体共鳴状態における近閾値状態のエネルギーは$1/(L^2\sqrt{\ln L})$に比例し、$d=4$ のスケーリングパターンと一致する。
• $p$波近似では、共鳴状態で$d$重に degenerate な低エネルギー準位が得られ、$d \geq 3$ の場合エネルギーは$1/L^d$に比例し、$d=2$ の場合$1/(L^2\ln L)$に比例する。
• エネルギースケーリングの比例定数は、2体散乱長および三体パラメータ（例：$r_{6,0}$ または $\widetilde{r}_{4,0}$）に依存し、有限体積効果と三体物理学を結びつける。